Lista Foice 02 (Victor)

01-Densidade de Corrente:

A partir de uma distribuição estatística de velocidade quaisquer para partículas numa região do espaço, sendo respeitada a restrição de que não existe direção privilegiada no espaço, mostre que a densidade de corrente fluindo para fora de uma região do espaço, em seus contornos, é:

$J=\frac{n<v>}{4}$

Onde $n$ é a densidade de partículas no espaço, e $<v>$ o módulo médio de velocidade das partículas.

02-Fatores de Boltzmann:

É conhecido de qualquer aluno de mecânica que estados energéticos são em geral bem indesejados para sistemas físicos, alunos de termodinâmica diriam que eles são improváveis. Mas como se estuda a dependência dessas probabilidades com a energia? Imagine que você tem um sistema físico com número de partículas constante e igual a $N$, com energia constante e igual a $E$:

a) Considerando que as partículas do sistema podem ocupar apenas níveis discretos de energia ${E_{i}}$, e que em geral pode-se dizer que cada nível é ocupado por $N_{i}$ partículas, escreve a energia total do sistema e seu número de partículas em função dos $E_{i}$ e $N_{i}$.

b) Encontre o número de estados possíveis do sistema numa dada configuração de energia e número de partículas, considerando todas partículas distiguíveis.

Existe uma técnica em cálculo multivariável chamada Multiplicadores de Lagrange. Com ela você pode encontrar um ponto estacionário (de máximo ou mínimo) de uma função sujeita a restrições. Dada uma função f de n parâmetros ${x_{i}}$ com g restrições homogêneas, temos que a função:

$\Lambda=f-\sum_{i} \lambda_{i} g_{i}$

Respeita, num ponto de máximo ou mínimo:

$\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{i}}=0$

Para qualquer parâmetro $x_{i}$. Os parâmetros $\lambda_{i}$ são os Multiplicadores de Lagrange.

c) Quem são as funções restrição no caso do nosso sistema?

d) Para treinar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, trabalhe com a entropia de Shannon:

$S=-k_{b} \sum_{i=1}^{\Omega} P_{i} lnP_{i}$

Onde $P_{i}$ é a probabilidade de obtermos um resultado pra uma dada medição física, e o somatório é realizada sobre todas as possibilidades. Mostre que para um mesmo número $\Omega$ de resultados possívels a entropia é maximizada quando todos ocorrem com a mesma probabilidade, deixando a entropia valendo:

$S=k_{b} ln\Omega$

Que é a famosa entropia de Boltzmann.

e) Dotado da técnica de multiplicadores de Lagrange, maximize o número de estados possíveis do sistema. Maximizar o número de estados é uma tarefa não trivial, então maximize o $ln$ do número de estados, que é equivalente a maximizar o número de estados.

Obs: Vale para um grande $N$ a aproximação de Stirling:

$ln(N!) \approx N lnN-N$

f) Tomando um sistema com um número muito grande de constituintes, a população fracionária dele no estado mais provável é igual à probabilidade de encontrar uma partícula no dado estado de energia. Encontre a probabilidade de uma partícula ocupar o nível energético $E_{i}$, você pode usar as constantes $\lambda$ como parâmetros.

g) Mostre que:

$E=-\frac{\partial}{\partial \lambda_{2}} ln Z$

Onde $Z$ é a chamada função partição, que vale:

$Z=\sum_{i=1}^{n} e^{-\lambda_{2}E_{i}}$

h) Usando que num gás ideal vale que:

$E=\frac{3}{2}N k_{b} T$

Encontre quanto deve valer o fator de Boltzmann em função de parâmetros físicos.

Obs: Você terá que fazer a soma da função partição ao longo de infinitos estados pois os parâmetros do gás são contínuos, veja também que não é importante calcular a função partição exatamente, a dependência certa nos parâmetros certos é o suficiente para resolver o problema. Troque a soma nos estados por uma integral no espaço de fase, vale que o número de estados numa configuração entre $p_{j}$ e $p_{j}+dp_{j}$ e $x_{j}$ e $x_{j}+dx_{j}$ é proporcional a seu volume no espaço de fase, isto é:

$d\Omega \sim d^3x_{j} d^3p_{j}$

03-Caminhar do Bêbado:

Considere uma partícula em uma rede unidimensional localizada inicialmente no ponto $x=0$. A partícula a cada período $\tau$ anda um passo de tamanho $l$ para algum lado, considerando que ela tem uma probabilidade $p$ de andar para a direita e uma $q$ de ir para a esquerda, encontre:

a) Sua posição em média num tempo $t$.

b) Sua posição quadrática média num tempo $t$

c) O desvio padrão de sua posição num tempo $t$

d) Qual probabilidade $p$ maximiza o desvio da posição da partícula?

e) Qual a probabilidade de ela estar numa posição $x$ num tempo $t$?

f) No limite de $t \rightarrow \infty$ qual a distribuição de probabilidade em $x$ de se encontrar a partícula?

04-Mecânica Estatística do jeito certo:

Vamos por meio de um exercício cheio de itens usar os postulados básicos da mecânica estatística para construir seus resultados, ou pelo menos os mais úteis. A mecânica estatística é basicamente construída em cima de dois postulados básicos:

Primeiro Postulado da Mecânica Estatística: Todos os estados microscópicos acessíveis a um sistema fechado em equilíbrio são igualmente prováveis.

Segundo Postulado da Mecânica Estatística: A entropia de um sistema físico é dada pelo logaritmo do número de microestados acessíveis ao sistema:

$S=k_{b} ln\Omega$

1-Definições e Ensemble Microcanônico:

Do primeiro postulado nós construímos a probabilidade de encontrar o sistema físico num dado estado, do segundo nós unimos a estatística com a termodinâmica e abrimos o caminho para construção de toda nossa física. Vamos imaginar um sistema físico que consiste basicamente de dois fluidos separados por uma parade adiabática, fixa e impermeável, ou seja, eles não trocam calor, realizam trabalho entre si ou trocam partículas. Em algum momento você retira a propriedade de isolante da divisória entre os sistemas e agora eles podem trocar calor, o que acontece?

a) Calcule uma expressão, um somatório, para o número de microestados acessíveis ao sistema, em função do número de microestados dos sistemas em cada estado de energia, $\Omega_{1}(E_{1})$ e $\Omega_{2}(E_{T}-E_{1})$, supondo que os sistemas podem apenas ter quantias discretas de energia (sendo que não é difícil ajustar isso para parâmetros contínuos) e que eles dois são independentes entre si. $E_{T}$ é a energia total do sistema (1+2) e $E_{1}$ é a energia do sistema 1.

b) Da condição do primeiro postulado da mecânica estatística, encontre a probabilidade do sistema estar numa certa configuração energética, e com isso maximize essa probabilidade. Maximizar essa probabilidade é uma tarefa não trivial, mas você pode tirar o $ln$ da probabilidade, maximizar, e será equivalente a maximizar a probabilidade em si devido à bijeção do $ln$. Apesar dos níveis de energia serem discretos, os suponha tão densos que podem ser tratados como contínuos e com derivadas definidas.

Em mecânica estatística nós supomos que o estado físico estudado está em constante mudança, isto é, o sistema está com seus parâmetros flutuando constantemente. Com isso, tem-se uma ideia de que teríamos uma visão bem inomogênea ao longo do tempo do estado de um sistema, contudo existem estados muito mais prováveis que outros, existem mais permutações dele por assim dizer, e o que nós vemos é o sistema num estado médio, em geral o mais provável, e muito mais provável que os outros, apresentando flutuações relativas que descrescem ao longo que aumentamos o tamanho do sistema. É daí que vem a importância do limite termodinâmico, que é o conceito de que os resultados da mecânica estatística viram a termodinâmica para um sistema infinitamente grande, todos os valores mais prováveis calculados viram os valores reais das funções e as flutuações se tornam praticamente nulas nos chamados Estados de Equilíbrio.

c) Encontre a condição de equilíbrio termodinâmico para o sistema físico descrito, o compare com o resultado encontrado na maximização da probabilidade por estatística e motive o segundo postulado da mecânica estatística.

d) Supondo agora que a parede deixou de ser fixa, escreva as condições de máximo e de equilíbrio análogas aos itens passados.

e) Pensando ainda no sistema citado, estabeleça uma desigualdade com valor máximo e mínimo para a função entropia do sistema. Demonstre a partir disso que:

$\Omega_{M} \leq \Omega \leq N \Omega_{M}$

Onde $\Omega_{M}$ é o número de microestados do sistema na condição de máxima multiplicidade, $\Omega$ é a soma para todos microestados possíveis e $N$ $\Omega_{M}$ é o número no máximo vezes o número de tipo de distribuições diferentes somadas. Mostre a partir disso que a entropia do sistema tende a ser aditiva no limite termodinâmico, usando o teorema do confronto e o raciocíno adequado.

2-Ensemble Canônico:

Vamos supor agora que o nosso sistema físico vai estar em contato por meio de uma parede diatérmica, contudo ainda fixa e impermeável, com um reservatório térmico. Um reservatório térmico é um sistema muito grande, que mantém seus parâmetros intensivos praticamente constantes ao longo das interações.

Considerando o reservatório como muito grande, podemos dizer que a contagem do número de microestados se deve, no limite adequado, apenas a ele, pois a contribuição ao número de microestados cresce exponencialmente com $N$ e podemos fazer $N$ arbitrariamente grande. Nesta questão usaremos a propriedade do primeiro postulado, pois o sistema físico (sistema+reservatório) tem energia constante, o que leva todos microestados a terem a mesma probabilidade.

a) Para encontrar como a probabilidade de encontrar um sistema numa energia depende da mesma, vamos trabalhar com a probabilidade de ocupação no reservatório, isto é, encontrar $P(E_{o}-E)$, onde $E_{o}$ é a energia total do (reservatório+sistema) e $E$ a do sistema. Tire o $ln$ da probabilidade para facilitar as contas, e expanda ela em primeira ordem, daí, considerando que as energias trabalhadas são pequenas em relação às energias do reservatório, ache $P_{j}$. Você pode usar novamente a hipótese de que o sistema só pode ocupar níveis discretos de energia. É útil definir a função partição:

$Z=\sum_{k} e^{-\beta E_{k}}$

e

$\beta=\frac{1}{k_{b}T}$

Onde $\sum_{k}$ é uma soma sobre todos os estados de energia. O reservatório está a uma temperatura $T$.

b) Encontre a energia média do sistema em função de $Z$ e suas derivadas.

c) Definindo:

$F=U-TS$

Mostre que no limite termodinâmico:

$F \rightarrow -\frac{1}{\beta} ln Z$

Onde todos valores são os calculados no equilíbrio, $F$ é a energia livre de Helmholtz.

3-Ensemble Gran-Canônico:

Neste caso o sistema pode trocar partículas com o reservatório.

a) De maneira análoga ao caso canônico, encontre a probabilidade $P_{j}$ do sistema físico estar ocupando um estado com energia $E$ e número de partículas $N$, dentro das mesmas considerações de grandeza da parte passada. Pode ser útil definir a grande função partição:

$\Xi=\sum_{N} e^{\beta \mu N} \sum_{j} e^{-\beta E_{j}}$

Onde $\mu$ é o potencial químico do sistema.

b) Vamos agora calcular a função $\Xi$ de um caso extremamente notável, com a intenção de a partir disso encontrar algumas distribuições relevantes da física. Considere um gás ideal de partículas indistiguíveis, isto é, um gás cuja distribuição apenas importa de quantas partículas estão em cada estado, e não de quais partículas estão. Considerando que as partículas apenas podem ocupar níveis discretos de energia, isto é, algum no conjunto $\varepsilon_{i}=[\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...]$, escreva a energia e número de partícula do sistema assumindo uma certa distribuição $n_{i}$ de partículas entre os níveis de energia. Você pode fatorar $\Xi$ como:

$\Xi=\prod_{i=1}^{n}\Xi_{i}$

Onde o produtório é sobre todos níveis de energia. Encontre a expressão de $\Xi_{i}$ em função de $\beta$, $\varepsilon_{i}$ e o somatório apropriado.

c) Encontre uma expressão simplificada para $\Xi_{i}$, sem somatórios, assumindo que o sistema pode ter qualquer valor de número de partículas de zero a infinito.

d) Encontre a ocupação média de um estado de energia $\varepsilon_{i}$, que no equilíbrio é a própria ocupação.

Obs: Pode ser útil mostrar que:

$<n_{i}>=-\frac{1}{\beta} \frac{\partial ln \Xi}{\partial \varepsilon_{i}}$

e) A partir das definições da questão 9, escreve a grande função partição de um estado de energia $\varepsilon_{i}$ de um sistema bosônico e fermiônico e com isso ache suas ocupações médias. A distribuição dos Bósons é a chamada estatística de Bose-Einstein e a dos Férmions é a estatística de Fermi-Dirac.

05-Estatística no Gás ideal:

Vamos considerar um gás ideal como sendo um gás cujo espaçamento intermolecular é grande o suficiente para desprezarmos qualquer interação entre as moléculas, sendo esse espaçamento também pequeno num parâmetro macroscópico, tal que podemos desprezar a distribuição discreta das partículas nele. Assumindo o gás homogêneo e em contato com um reservatório térmico a temperatura $T$:

a) Mostre que a probabilidade de encontrar uma partícula do gás numa certa região infinitesimal do espaço de fase é do tipo:

$dP=ce^{-\frac{E}{k_{b}T}} d\Gamma$

Onde $c$ é uma constante de normalização, $e^{-\frac{E}{k_{b}T}}$ é o fator de Boltzmann, sendo $E$ é a energia da partícula nessa região e $d\Gamma$ é o hipervolume da região selecionada no espaço de fase, isto é:

$d\Gamma=d^{3} x_{i} d^{3} p_{i}$

b) Encontre a probabilidade do item passado em função do módulo da velocidade da partícula na região, você pode já realizar a integral no volume para simplificar a expressão. Considere as partículas do gás como não relativísticas e a massa de cada partícula como $m$.

c) Usando os dados do item passado, encontre a constante de normalização. Também encontre a média do módulo da velocidade do gás, sua velocidade quadrática média e a velocidade mais provável.

d) Encontre o número de microestados do gás a par de uma constante multiplicativa genérica. Disto encontre a energia média do gás e pressão em função das variáveis físicas.

06-Energia de Superfície:

Encontre a densidade de corrente da questão 1 supondo que o material em questão respeita a distribuição de Maxwell-Boltzmann e que para fugir da superfície uma partícula precisa ter uma energia maior que $E_{o}$.

07-Modelo de Ising:

O modelo de Ising é um modelo construído para explicar como sistemas físicos respondem a aplicação de campo magnético e como esse afeta seus parâmetros.

1-Modelo Discreto:

Neste modelo, vamos assumir que os dipolos do sistema podem ter decomposição de momento de dipolo apenas como $+m$ ou $-m$, sendo o sinal positivo o correspondente ao dipolo alinhado com o campo magnético $B$. A partir dessa suposição:

1.1-Ensemble Microcanônico:

a) Encontre a entropia do sistema em função de $N_{+}$ e $N_{-}$, onde os números correspondem, respectivamente, à quantidade de dipolos alinhados e desalinhados com o campo, usando também a condição que a soma dos números deve ser igual ao número $N$ de partículas no sistema.

b) Encontre a energia média do sistema por unidade de partícula em função da temperatura do sistema e dos parâmetros fornecidos.

c) Ache o momento de dipolo médio de uma partícula e com isso encontre a susceptibilidade magnética do sistema para $B=0$, qual a dependência disso com a temperatura?

1.2-Ensemble Canônico:

a) Calcule a probabilidade de uma partícula estar no estado $+m$ e de estar no $-m$, com isso encontre a energia média do sistema e seu momento de dipolo magnético médio, com isso encontre a susceptibilidade magnética do sistema para $B=0$

2-Modelo Contínuo:

Neste modelo, vamos assumir que o dipolo magnético tem um momento de dipolo de módulo $m$ que pode assumir uma direção qualquer no espaço,a partir dessa suposição encontre:

a) Determine a probabilidade de encontrar um dipolo com um ângulo entre $\theta$ e $\theta+d\theta$ com o campo magnético, onde a densidade de probabilidade em $\theta$ é máxima?

b) Encontre a energia média de uma partícula em função da temperatura do sistema e dos parâmetros fornecidos.

c) Ache o momento de dipolo médio de uma partícula e com isso a susceptibilidade magnética do sistema para $B=0$, qual a dependência disso com a temperatura?

08-Lei de Hooke:

Vamos aproximar um material, em geral algo como um polímero, como uma extensão unidimensional de moléculas ligadas, que você pode imaginar como sendo ligadas por barras de comprimento $a$. Considerando que o polímero é construído de várias barras, que podem ser ligadas no começo das moléculas e no fim de outras, orientadas para esquerda ou direita, e que ele é constituído de $N$ moléculas, estando em contato com um reservatória a temperatura $T$:

a) Encontre a entropia desse sistema quando o comprimento da cadeia for $L$. Esboce um gráfico da entropia por comprimento (Comprimentos negativos fazem sentido físico nesse caso, pois esse comprimento tem duas orientações, você pode pensar nele como uma deformação ou a posição da última molécula de cadeia).

b) Escreva a primeira lei da termodinâmica pra esse sistema, considerando que o sistema realiza trabalho por meio de uma força $F$ sobre o sistema quando esticado ou comprimido.

c) Encontre a força $F$ que o sistema exerce através de sua entropia, em função de $L$,$T$ e $a$. Sendo $L$ o tamanho do polímero.

d) Qual o comportamento dessa força pra $L \rightarrow Na$ e para $L \rightarrow 0$, coloque isso num gráfico. Esse modelo explica corretamente o funcionamento da mola para $L \rightarrow 0$?

09-Distribuições:

Existem diversos tipos de partícula na natureza, que em geral podem ser divididas em dois tipos: Bósons e Férmions. Os Bósons são partículas com spin (um momento angular intríseco das partículas) múltiplos da constante de planck normalizada, enquanto os Férmions tem múltiplos ímpares da métade da constante de Planck. O spin das partículas afeta como a função de onda delas se comporta por uma rotação de inteira em torno de seu eixo, implicando em algumas propriedades interessantes. Férmions não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico, este que é o chamado princípio da exclusão de Pauli. Já os Bósons, podem ocupar o mesmo estado quântico e usualmente fazem isso, às vezes até tendendo a colapsar todos prum mesmo (Condesação de Bose-Einstein). De posse dessas informações:

a) Considerando um modelo simples em que um Férmion pode ocupar ou não um estado quântico de energia definida, supondo que ele respeita a distribuição de Boltzmann normalmente para razão de probabilidades, encontre a ocupação média de um Férmion num estado de energia $E$, estando em um sistema a temperatura $T$.

b) Considerando um modelo análogo para o Bósons, encontre o número de ocupação médio de um estado de energia $E$, estando em um sistema a temperatura $T$.

10-Disponibilidade:

Nos processos físicos em geral os sistemas tendem a maximizar ou minimizar alguns parâmetros no equilíbrio, esses parâmetros dependem de quais restrições o sistema é sujeito, e esses parâmetros são na verdade expressões da maximização da entropia do universo, analizemos essas afirmações pelo problema.

a) Tomando um sistema físico qualquer, defina um reservatório térmico, i.e, um sistema vizinho que o cobre e que tem seus parâmetros intensivos praticamente constantes. Tendo o sistema vizinho temperatura $T_{o}$ e pressão $p_{o}$, escreva a primeira lei da termodinâmica pro sistema e pro reservatório, considerando que o sistema pode exercer trabalho expansivo e trabalhos por outros meios.

b) Escreva uma desigualdade pra $\Delta S$ e $Q$ a partir da segunda lei da termodinâmica.

c) Ache com a desigualdade da segunda lei uma desigualdade para a quantidade de trabalho não expansivo do sistema, o que as equações implicam?

d) Relacione a variação da disponibilidade com o trabalho não expansivo do sistema num processo reversível. O que constrasta o reversível e o irreversível? Qual mais efetivo para gerar trabalho não expansivo?

e) Em geral o trabalho não expansivo pode ser considerado como um termo a mais na disponibilidade, então ignorando o trabalho não expansivo, mostre que a quantidade definida como disponibilidade:

$A=U+p_{o}V-T_{o}S$

Tende a ter um valor de mínimo no sistema físico, ou seja, transformações espontâneas minimizam $A$ e no equilíbrio $A$ é estacionário. Encontre o equivalente a minimizar $A$ para um sistema a temperatura e pressão fixos, num sistema a pressão fixa, num sistema a temperatura fixa, e num sistema a volume fixo e isolado termicamente. Mostre também que há uma equivalência entre minimizar a disponibilidade e maximizar a entropia do universo.