Lista Foice 02 (Vinícius)

01-Barra:

Considere uma haste elástica, a massa e a compressibilidade (ou seja, a mudança de comprimento) podem ser negligenciadas neste problema. Pode assumir-se que se uma extremidade da haste for firmemente fixada, e uma força $F$ é aplicada na outra extremidade da haste, perpendicularmente à haste no ponto de aplicação, então a haste assume uma forma de segmento circular. O raio desse círculo é inversamente proporcional à força, R = $\frac{k}{F}$, onde o fator $k$ é uma característica da haste.

a) Deixe a haste ser fixada verticalmente, na sua extremidade inferior, e uma bola de massa $m$ seja presa à sua extremidade superior. Conhecendo o fator $k$, o comprimento da haste $l$ e a aceleração de queda livre $g$, encontre o período de pequenas oscilações da bola. Nesta questão, você pode assumir que o $mgl<<k$.
b) Qual é a massa máxima $M$ da bola, que ainda mantém a posição vertical da haste estável?

Obs: Pode ser útil usar a aproximaçao para o sen$\alpha$ :

$sen\alpha \approx \alpha - \frac{\alpha^3}{6}$

02-Oscilador mecânico-elétrico:

Os processos mecânicos e elétricos às vezes são fortemente acoplado. Exemplos muito importantes são sistemas que contêm materiais piezoelétricos, por exemplo um ressonador de quartzo. Aqui investigamos
uma situação um pouco mais simples. Existem duas placas de metal com área S e massa m. Um prato está situado no topo do outro As placas estão conectadas entre si com molas, cuja constante total de mola é k e estas são isolantes. A placa inferior é montada em uma base estável. Distância de equilíbrio entre as placas é $X_0$.

a) Deixe-nos assumir que existe uma pequena mudança vertical $x$ da placa superior da sua posição de equilíbrio. Derivar aceleração $x"$ de $x$ em termos dos parâmetros do sistema. Qual é a frequência angular $\omega_{0}$ das pequenas oscilações verticais da parte superior prato?

b) As placas agora estão conectadas a uma alta fonte de tensão, para que eles formem um capacitor. A força eletrostática entre as placas causa um deslocamento adicional da placa superior. O equilíbrio a distância entre as placas é agora $X_1$. Derive expressões para a força atrativa elétrica $F_e$ e tensão $U$ aplicada às placas em termos do $X_0$, $X_1$, $S$, $m$ e $k$.

c) Derive uma expressão para a aceleração $x''$ de $x$ em termos de $X_{0}$, $X_{1}$, $S$, $m$, $k$ e $x$. Qual é a frequência angular $\omega_{1}$ das pequenas oscilações verticais da placa superior?

d) Vamos modificar a situação do item anterior e conectar um indutor com indutância L em série para o capacitor e tensão fonte. Descrevemos a situação em termos de mudança de chapa x e carga do capacitor q. Derive expressões para as acelerações $x''$ e $q''$ em termos do $X_0$, $X_1$, $S$, $m$, $k$, $x$ e $q$. Quais as frequências angulares de oscilação harmônica são possíveis no sistema?

03-Cicloide:

Chama-se cicloide a curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta.
Considere uma superficie que obedeça a esta curva, ao colocar uma particula sobre ela observa-se que esta passa a oscilar em torno do ponto de equilíbrio com a mesma frequência para qualquer amplitude. Encontre esta frequência para uma cicloide construida a partir de uma circunferencia de raio $a$.

04-Partícula dentro de um cilindro:

Um disco de massa m é cuidadosamente colocado na superfície interna de um cilindro fino oco de massa $M$ e de raio $R$. Inicialmente, o cilindro repousa no plano horizontal e o disco está localizado na altura $R$ acima o plano como mostrado na figura,

a) (Ipho 2014) Encontre a força de interação F entre o disco e o cilindro no momento em que o disco passa o ponto mais baixo de sua trajetória. Suponha que o atrito entre a partícula e a superfície interna do cilindro está ausente, e o cilindro move-se no plano sem escorregar. A aceleração da queda livre é g.

b) Suponha agora que o momento de inercia do cilindro é $I=\beta mr^2$. Qual a frequência para pequenas oscilações do sistema em torno do equilíbrio