Lista Foice 05 (Victor)

01-Transformação de Gammas:

Considere um ponto que se move com uma velocidade $\vec{v}$ no espaço em relação a um referencial $S$, e um referencial $S'$ que se move com uma velocidade $u$ no eixo $x$ em relação ao referencial $S$.

a) Qual a fórmula vetorial de $\vec{\beta_{v'}}=\frac{\vec{v'}}{c}$ em relação ao referencial $S'$ em função de $\vec{\beta_{v}}$ e $\vec{\beta_{u}}$.

b) Qual deve ser, no referencial $S'$, em função de $\vec{\beta_{v}}$ e $\vec{\beta_{u}}$, o $\gamma$ do ponto estudado?

02-Momento Relativístico:

Os resultados da cinemática relativística podem ser inferidos por considerações básicas sobre a isotropia do espaço-tempo bem como do princípio da relatividade. Nessa lógica, seria interessante também ver como seria a versão relativística da mecânica, o que podemos conseguir por alguns pressupostos básicos.

a) Considere um material elástico de comprimento original $l_{o}$, e que uma tensão é exercida sobre ele, tal que ele distendeu um tamanho $\Delta l$. Disso, e do conhecimento da resistência dos materiais, podemos supor que a força é do tipo:

$F=YA\frac{\Delta l}{l_{o}}$

Onde $Y$ é o modulo de young do material (uma constante) e $A$ sua área tranversal à elongação. Supondo o princípio da relatividade, e que o material continua se comportando da mesma maneira para um referencial em movimento, encontre a força num referencial $S'$ que se move com uma velocidade $v$ em relação a $S$ no eixo $x$ (direção de elongação da barra).

b) Desse resultado, sendo a força causada no material causada por uma fonte genérica, podemos supor que a lei de transformação assume um caráter geral para qualquer força na direção tomada. Imagine, então, que você tem um jato de partículas se movendo com velocidade $u$, sendo $u <<c$ e pequeno como você queira, em relação a um referencial $S$. Elas tem uma densidade númerica por volume de $\rho$, tendo cada partícula massa $m$, e colidem com uma parede de área $A$ perpendicular à velocidade. Considerando os choques inelásticos, calcule quanto vale a força no referencial $S$.

c) Considere agora um referencial $S'$ se movendo com $v$ em relação a $S$ no eixo $x$, sendo o valor de $v$ não necessariamente muito menor que $c$, encontre a força calculada por este referencial. Junto do resultado do item anterior, encontre como deve ser o momento das partículas para que o resultado do item $a$ seja consistente. Perceba que este momento não é geral visto que estamos considerando o problema unidimensional.

d) Analogamente ao item $a$, imagine que você olha o material de um referencial que se move em $S$ perpendicularmente à direção de aplicação da força com um $v$, qual deve ser a força medida neste referencial?

e) Considere agora um referencial $S'$, que se move em relação a $S$ numa direção perpendicular à velocidade do jato do item $b$, com velocidade $v$. Aplicando as considerações de antes, encontre quanto deve ser o momento de cada partícula para a consistência entre os resultados encontrados. Perceba que este momento não é geral visto que supomos $u$ arbitrariamente pequeno.

f) Considere agora um referencial $S'$ que se move em relação a $S$ com uma velocidade $v$ no eixo $x$, e outro referencial $S''$ que se move com $w$ em relação a $S'$ num eixo perpendicular a $x$. Qual deve ser o momento da partícula nesse referencial genérico? Esse tipo de transformação consegue o tipo de velocidade mais geral possível da partícula, pois é a soma de uma componente saindo dum plano com uma componente quaisquer do plano, logo nosso valor encontrado para o momento deve ser o mais geral possível. Mas, uma vez que você restringe o tipo de função do momento, você pode obter o mesmo resultado.

h) No espírito das considerações anteriores, podemos pensar no momento de uma partícula como sendo do tipo:

$\vec{p}=f(\vec{v}) m\vec{v}$

Quais são as restrições físicas sobre a função?

i) Calcule quanto deve ser a variação de energia cinética da partícula em função da sua variação de momento, disso você chegará numa integral do tipo:

$\int g'(x)dx=g(v)-g(o)$

O valor de $g(0)$ é o que se chama de energia de repouso, e $g(v)$ a energia total. A partícula tem uma energia $g(o)$ só por existir, e ao acelerar ela você precisa fornecer mais energia, até $g(v)$.

j) Adicionalmente ao encontrado, mostre que vale:

$E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$

O que isso implica essa relação, em adição ao princípio da relatividade?
A estrutura matemática desse tipo de relação é equivalente entre uma série de variáveis especiais.

03-Foguete Relativístico:

Considere um sistema, no qual você tem um foguete relativístico que ejeta massa a velocidade relativa $u$ em seu referencial próprio. A partir disso, e sabendo que ele parte do repouso para um referencial $S$, ache sua velocidade em função de sua massa. Faça o problema trabalhando as colisões a partir do referencial do foguete e outra vez trabalhando elas em $S$.

04-Transformação de momento e energia:

Calcule o momento e energia de uma partícula num referencial $S'$, que se move com velocidade $u$ em relação a $S$ no eixo $x$, em função do seu momento e energia no referencial $S$.

05-Corpúsculos:

Considere que você tem um balde, que está se movendo com uma velocidade $v$ no eixo $x$ em relação a um referencial $S$. Luz está se propagando na mesma direção do balde, com isso carregando energia eletromagnética, e por meio disso o balde está recebendo energia constantemente.

a) A densidade de energia eletromagnética da luz no referencial $S$ é $u$, calcule a energia por unidade de área e tempo transportada por essa onda.

b) No referencial $S$ um total de $N$ frentes de onda entram no balde, calcule a energia que entra no balde em conta disso, sendo a área do balde $A$ e o comprimento de onda da luz $\lambda$.

c) No referencial do balde, a energia por unidade de volume da luz é $u'$ e o comprimento de onda também difere, nesse referencial qual a energia que entrou no balde?

d) Vamos supor que a luz é composta por partículas, e estas que carregam sua energia e momento. Qual deve ser a velocidade e energia dessa partícula em função do seu momento?

e) Ache a energia e intensidade da luz no referencial $S'$ em função da energia e intensidade no referencial $S$.

f) Diante disso, pode-se perceber que a energia se transforma de maneira diferente da intensidade. Se você supõe que a energia é proporcional à intensidade em um referencial, você vai chegar em absurdo nos outros. Por outras evidências experimentais é visto que de fato a energia dos corpúsculos que compôem a luz não depende da intensidade, de que maneira deve depender a energia então de outros parâmetros, como a frequência?

06-F é diferente de ma:

Uma força $\vec{F}$ de módulo constante está sendo aplicada numa partícula de massa $m$ que se movia originalmente na direção $x$ em relação a um referencial $S$. Qual deve ser a direção dessa força num tempo $t$ para que a partícula sempre se mova com a mesma velocidade no eixo $x$?

07-F é bem diferente de ma:

Uma força $\vec{F}$ de módulo constante está sendo aplicada numa partícula de massa $m$, calcule a força em função da aceleração $\vec{a}$ da partícula. Elas tem a mesma direção? Se não, existem casos em que elas tem? Se sim, quais?

08-Fóton Massivo:

Fóton é uma partícula sem massa com energia que depende de sua frequência. Apesar de não ter massa, o fóton tem momento e portanto pode ser afetado por forças. Considerando que o fóton tem uma "massa" que está relacionada com sua energia como $E=mc^2$, você pode encontrar algumas propriedades interessantes. Você tem a massa e raio dos astros envolvidos e constantes universais como conhecidos. Os resultados serão em geral imprecisos, pois algumas análises precisam do estudo de relatividade geral, contudo ainda podemos testar qualitativamente os resultados conseguidos com relatividade restrita.

a) Supondo que na superfície de uma estrela ocorre uma reação que libera energia na forma de radiação com frequência $f_{o}$, calcule qual é a frequência dessa radiação medida por um detector a uma altura $h$ da superfície dela.

b) Considere que um fóton está se movendo a uma distância $r$ de uma estrela e que devido a isso ele começa a girar numa órbita circular, qual a frequência angular dele em relação à estrela? E essa distância $r$? Isso é fisicamente possível?

c) Considere que um fóton está se aproximando do infinito a uma estrela, sendo a distância de sua linha de movimento inicial à estrela $b$. A interação gravitacional da estrela com o fóton é muito fraca, e devido a isso ele é pouco defletido de sua trajetória inicial. Calcule qual foi, aproximadamente, o ângulo de deflexão total ao longo da trajetória.

09-Relatividade Quase Geral:

Um corpo é sujeito a uma força constante e igual a $F$ no eixo $x$, sendo acelerado desde o repouso num referencial $S$. Por meio disso, ele consegue um movimento que no plano $x-t$ é hiperbólico, com algumas propriedades interessantes.

a) No referencial $S$ calcule a aceleração, velocidade e posição do corpo em função do tempo $t$.

b) Para tratar a física de referenciais acelerados poderíamos trabalhar com uma série de referenciais inerciais, e ligando os trechos de movimento visto por cada um teríamos o movimento da partícula. Defina o referencial solidário ao corpo num tempo $t$ como $S^{1}$, com isso calcule o tempo $\tau$ que um relógio, seguindo a partícula sempre, está medindo, em função de $t$

c) Qual a distância da partícula até o ponto $x=-\frac{c^2}{g}$, em $S^{1}$, em função do tempo próprio $\tau$?

d) Suponha que você quer construir um sistema equivalente a um campo gravitacional constante, para entender as propriedades deste. Você sabe que vale o princípio da equivalência de Einstein:

"Um referencial acelerado com aceleração própria constante é equivalente a um referencial sob efeito de campo gravitacional constante."

Considere, num mundo unidimensional, que você está num referencial inercial observando partículas acelerarem com acelerações próprias constantes. Qual deve ser o valor dessas acelerações para que elas se vejam todas a distância constante? Isto é, para elas, nenhuma delas está se movendo, o referencial é estático. Esse tipo de espaço gravitacional é chamado de espaço de Rindler.

10-Efeito Compton:

Considere um referencial $S$, no qual um elétron em repouso é atingido por um fóton, de comprimento de onda $\lambda_{o}$, que se movia no eixo $x$. Graças a isso o elétron é espalhado de um ângulo $\alpha$ para "baixo" em relação ao o eixo $x$ , e o fóton é espalhado de um ângulo $\theta$.

a) Por conservação de momento, encontre o momento do elétron espalhado em função do momento inicial do fóton $p_{o}$, do seu momento final $p$ e do ângulo de espalhamento do fóton $\theta$.

b) Por conservação de energia, encontre como deve ser a relação da energia final e inicial do elétron em função dos momentos iniciais e finais do fóton.

c) De posse da relação de Einstein, $E^2-p^2c^2=m^2c^4$, encontre o comprimendo de onda novo do fóton em função do comprimento inicial, massa $m$ do elétron, ângulo do espalhamento do fóton e constantes físicas.

11-Efeito Compton Reverso:

Contrariamente ao efeito Compton, o efeito Compton reverso tira energia de um elétron para dar a um fóton. Neste caso, o elétron em geral está com velocidades próximas de $c$ e nisso colide com um fóton, dando a energia que gera a emissão de raios $X$ de buracos negros, por exemplo.

a) Suponha que um elétron está se movendo no eixo $x$ de um referencial $S$, com uma velocidade $v$, por meio disso ele acaba se chocando com um fóton, que chega fazendo um ângula $\alpha$ com a trajetória do elétron. No referencial do elétron, qual o ângulo que o fóton faz com o eixo $x$?

b) Depois da colisão com o elétron, qual o ângulo que o fóton faz com sua direção? E qual seu novo comprimento de onda? Você conhece o comprimento de onda inicial e constantes universais à vontade.

c) Qual a energia do fóton no referencial $S$ após a colisão, em função de seu ângulo $\theta$ final com o eixo $x$, seu ângulo de incidência $\alpha$, outras variáveis do problema e constantes físicas universais?

d) Quais os ângulos $\alpha$ e $\theta$ que maximizam a energia do fóton? Qual o padrão de espalhamento para $v \rightarrow c$?

12-Decaimento:

Uma partícula de massa $M$, em repouso num referencial $S$, decai em outras várias partículas. Sabendo a massa de cada uma delas, encontre qual a energia máxima que, por exemplo, a i-ésima dessas partículas pode ter.

13-Meio rarefeito:

Uma esfera de raio $R$ se move com uma velocidade $v$ ao longo do espaço, num meio cuja densidade de partículas por volume é $n$. Considerando as colisões das partículas como elásticas, encontre a pressão num ponto da esfera e mostre, no ponto em que as partículas atingem a esfera na normal, que é a mesma no referencial do gás e da esfera. Também, calcule a força resultante na esfera ou a integral que a gera.

14-Nem tão complementares:

Considere que, num referencial $S$, uma partícula se move ao longo do eixo $x$ com uma velociade $v$ e colide com outra de mesma massa. Mostre que o ângulo entre a velocidade delas duas após a colisão é sempre menor que $90^{\circ}$ e calcule seu valor mínimo.

15-Ultra Relativístico:

Considere que duas partículas se movendo a velocidades muito próximas de $c$ em relação a um referencial $S$ se colidem. Após a colisão o quadrivetor momento-energia das duas partículas vai mudar, e a essa diferença podemos associar um quadrivetor. Qual o valor do módulo quadrado desse quadrivetor? Você pode usar como variável a deflexão angular de um das partículas, e sua energia antes e depois da colisão.

16-Dissociação:

Considere que uma partícula, de massa $M$, que estava com uma velocidade $v$ num referencial $S$, se dissociou em outras duas. Qual o ângulo máximo que uma delas, de massa $m$, pode fazer com a direção da partícula inicial?