Lista Foice 06 (Victor)

01-Centro de momento:

Considere um sistema físico genérico. Num referencial $S$, esse sistema tem um momento associado que é a soma do momento de seus constintuintes. Deve existir um referencial, que se move com uma velocidade $\vec{V}$ em relação a $S$, em que esse momento total é nulo. Calcule a velocidade $\vec{V}$ desse referencial, em função do momento e energia dos constituintes do sistema. Como fica a distribuição de energia, antes e depois de uma colisão, entre duas partículas que colidem nesse referencial? O nome deste referencial é Centro de Momento, ou $CM$.

02-Colisão direta:

Considere uma massa $M$ estacionária, num referencial $S$, que é acertada por uma massa $m$ de energia inicial $E$. Devido a isso as duas mudam de velocidade e saem na direção inicial de $m$. Encontre a energia de $M$ e $m$, no referencial $S$, após a colisão.

03-Fótons e Massas:

Considere dois fótons se propagando pelo espaço, tendo eles um ângulo $\alpha$ não nulo entre suas trajetórias e frequências $\nu_{1}$ e $\nu_{2}$ para um referencial $S$. Eles colidem e se fundem, formando uma massa $M$. Qual deve ser o valor dessa massa? Encontre esse resultado por duas maneiras, uma analisando o movimento no referencial $S$ e outra no referencial do $CM$.

04-Espalhamento Relativístico:

Suponha que você tem um núcleo parado na origem para um referencial $S$, e se aproximando desse núcleo do infinito vem uma partícula de energia $E$ com linha de velocidade a uma distância $b$ do núcleo. Calcule a posição de proximidade mínima do núcleo à partícula, bem como o ângulo de espalhamento dela, supondo a energia de interação deles como do tipo:

$V=-\frac{\alpha}{r}$

05-Quadrivetores, Vários:

Podemos definir um quadrivetor como o um vetor genérico com 4 componentes, sendo do tipo:

$A_{\mu}=(A_{o},\vec{A})$

Onde $A_{o}$ é uma componente escalar e $\vec{A}$ é um vetor espacial. Como exemplo de quadrivetores temos algumas variáveis da cinemática e algumas da dinâmica, comecemos falando sobre a cinemática.

a) Uma das aplicações mais conhecidas da relatividade é na cinemática, é nela que se começa a estudar os efeitos de contração de espaço, dilatação do tempo e outros. Usando argumentos físicos racionais sobre isotropia e o princípio da relatividade, você consegue ver que o quadrivetor posição que descreve um evento, que chamaremos de:

$x_{\mu}=(ct,\vec{x})$

É diferente em suas componentes para cada referencial inercial que o mede. Especificamente, um quadrivetor posição $x_{\mu}$, medido num referencial $S$, terá seu valor num referencial $S'$, que se move com $v$ em relação a $S$ no eixo $x$, como:

$t'=\gamma(t-\frac{vx}{c^2})$
$x'=\gamma(x-vt)$
$y'=y$
$z'=z$

Mostre que, dessa maneira, o intervalo:

$s^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2=(ct')^2-x'^2-y'^2-z'^2=cte$

É invariante sobre uma transformação de $x_{\mu}$ entre referenciais. Perceba que, como valem pra posições em torno de uma origem, os resultados também se aplicam a diferenças de posições.

b) Como corolário da invariância do intervalo, nós temos algumas propriedades muito úteis das transformadas de posição. Por exemplo, o invariante é composto de termos negativos e positivos, dessa maneira ele pode ser positivo ou negativo, e se manter assim, portanto, entre todos referenciais. Considere as três afirmativas:

1-"Existe um referencial em que os dois eventos ocorrem no mesmo lugar do espaço"

2-"Existe um referencial em que os dois eventos ocorrem simultaneamente"

3-"Existe um referencial em que os dois eventos ocorrem no mesmo lugar e no mesmo tempo"

Qual deve ser a condição sobre $s^2$ para que cada uma das afirmativas seja verdadeira? Essa condição tem uma volta, isto é, para $s^2$ dessa maneira a afirmativa é correta e para a afirmativa ser correta $s^2$ é dessa maneira? O nome dos intervalos dos casos são tipo temporal, espacial e luz, respectivamente

c) Para cada tipo de intervalo invariante existe uma regiao de velocidades possíveis que liga os dois eventos nos referenciais. Cite essa região para cada intervalo, qual deles preserva a causalidade de dois eventos em todos referenciais inerciais? E qual deles permite apenas velocidades físicas ligando os eventos?

d) As componentes dos quadrivetores se transformam de um referencial $S$ para um $S'$, que se move com $v$ em relação a $S$ na direção $1$, como:

$A_{o}'=\gamma(A_{0}-\beta A_{1})$

$A_{1}'=\gamma(A_{1}-\beta A_{o})$

$A_{2}'=A_{2}$

$A_{3}'=A_{3}$

A transformação basicamente diz como as componentes dos vetores mudam quando mensuradas por diferentes referenciais inerciais, em específico comparando as medidas de um com uma velocidade $v$ numa dada direção $1$ em relação a outro. Apesar de você estar selecionando uma direção específica para a transformação, perceba que ela é geral, pois a escolha de eixos $1$, $2$ e $3$ é arbitrária. Mostre que o produto interno, ou norma, entre dois quadrivetores, $A$ e $B$, definido como:

$A \cdot B=A_{o}B_{o}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}$

É invariante sob uma transformação de Lorentz. Como os exemplos passados se encaixam nesse resultado? Quando os dois quadrivetores são iguais, o produto interno também pode ser chamado de módulo.

e) Analogamente, podemos definir um quadrivetor velocidade invariante para um evento no espaço, pois se definirmos num referencial:

$v_{\mu}=\frac{dx_{\mu}}{d\tau}$

Essa definição guardará propriedades interessantes para todos referenciais. Onde $\tau$ é o tempo medido entre os dois eventos no referencial em que eles acontecem no mesmo lugar do espaço. Para que tipo de intervalo invariante essa velocidade é bem definida? O módulo desse quadrivetor deve ser invariante? Se sim, qual seu valor?

f) Defina, analogamente, o quadrivetor aceleração:

$a_{\mu}=\frac{dv_{\mu}}{d\tau}$

Qual deve ser a norma de $a_{\mu}$, em função de sua aceleração própria (aceleração num referencial solidário ao evento)? A norma desse quadrivetor é de que tipo? Calcule a aceleração própria do evento em função de sua aceleração $\vec{a}$ para um referencial $S'$ que vê o evento se propagando com $\vec{v}$.

g) Analogamente ao quadrivetor velocidade, podemos definir um quadrivetor momento, cuja definição segue diretamente como:

$P_{\mu}=mv_{\mu}$

Disso, você pode construir a mecânica relativística postulando que:

$\sum P_{\mu}=cte$

O quadrivetor momento do sistema, sendo a soma de todos constituintes, é conservado em interações físicas, como colisões. As três componentes espaciais do quadrivetor momento trivialmente remetem ao momento newtoniano clássico, no limite em que $c \rightarrow \infty$, contudo o termo temporal não tem uma relação tão direta com nenhuma conceito clássico ainda. Expanda o termo temporal para $v<<c$, a lei de conservação encontrada (supondo conservação de massa válida no limite newtoniano das colisões analisadas) indica que essa componente deve representar que atributo do sistema e de suas partículas?

h) Dentro duma definição mais geral de energia motivada pelo item anterior, mostre que deve valer para um sistema físico que a norma:

$E^2-p^2c^2=cte$

Deve ser invariante. No caso da luz, quanto deve ser o valor de sua energia em função de seu momento? Dois fótons podem interagir para se transformar em uma massa?

i) Analogamente ao momento, podemos definir um quadrivetor força, que pode nos dar algumas quantidades interessantes. É natural definir ele como:

$F_{\mu}=\frac{dP_{\mu}}{d\tau}=mA_{\mu}$

Calcule quanto deve ser, em termo da energia, momentos e suas derivadas, as componentes do quadrivetor força. Qual é o valor da norma $F_{\mu}\cdot v_{\mu}$? Qual deve ser o valor dela para a massa de repouso do sistema se conservar?

06-Frentes de Onda:

Considere uma onda plana num referencial $S$. Essa onda pode ser descrita por um vetor de direção, tal que, dado um ponto $P$ no espaço, e outro em $P_{o}$, vale que a superfície cuja normal é $\vec{n}$ tem a mesma fase num dado tempo respeita:

$\vec{n} \cdot \vec{r}=p$

Com $\vec{r}$ representando a distância entre esses dois pontos no espaço.

a) Considerando que também existe o fato de que essa onda plana oscila com uma dada frequência, mostre que a equação que expressão "$N$ frentes de onda foram contadas pelo ponto P" pode ser escrita como:

$L_{\mu} \cdot \Delta x_{\mu}=-N$

Onde $x_{\mu}$ é o quadrivetor posição de um evento, e $L_{\mu}$ é a quadrupla:

$L_{\mu}=\frac{1}{\lambda}(\frac{w}{c}, \vec{n})$

b) Mostre que a quadrupla $L_{\mu}$ é um quadrivetor, e disso mostre que, definindo um eixo $x$, a grandeza:

$\frac{\lambda}{sen \alpha}=\frac{\lambda'}{sen \alpha'}$

É invariante por um boost de Lorentz no eixo $x$, sendo $\alpha$ o ângulo da normal do plano da onda com o mesmo no referencial $S$ e $\alpha'$ o análogo em $S'$.

07-Colisões Especiais:

Num referencial $S$, uma partícula de massa $m_{1}$ está em repouso, até que é acertada por outra de massa $m_{2}$ que se aproximava com velocidade $v$. Sabendo que as partículas saem após a colisão perpendiculares entre si, qual a nova energia de $m_{1}$ e $m_{2}$? Qual a condição para que esse tipo de colisão seja possível?

08-Desigualdade Triangular Invertida:

Considere um quadrivetor $X_{\mu}$ do tipo tempo, que é soma de vários outros quadrivetores do tipo tempo, $X_{i}$ , tendo cada um deles uma norma invariante. Por exemplo, considere o momento de um sistema que é composto pelo momento de seus constituintes. Calcule a condição sobre os $X_{i}$ para que a norma desse quadrivetor seja mínima, e demonstre que:

$X_{\mu}^2 \geq (\sum m_{i})^2$

Com $m_{i}$ sendo a norma invariante do i-ésimo quadrivetor e a igualdade ocorrendo apenas na condição de mínimo.

09-Breemsstrahlung:

Um elétron muito rápido se move com velocidade $u$ num referencial $S$ até que se choca com um íon pesado de massa $M$, que o desacelera o forçando a emitir um fóton. Prove que a energia do fóton é máxima quando ele é emitido na direção inicial de movimento do elétron e ache seu valor.

10-Gradiente:

O gradiente, como um operador diferencial fundamental na construção de leis físicas, deve ter um quadrivetor associado, pelo caráter invariante das leis naturais.

a) Considere um escalar, que por definição é invariante. Escreva a derivada parcial dele na direção $x$, no referencial $S$, em função das coordenadas espaço temporais de um referencial $S'$ que se move com velocidade $v$ no eixo $x$ em relação a $S$.

b) Escreva a derivada parcial de maneira análoga para todas as outras coordenadas espaço temporais, o objeto $(\frac{\partial}{\partial ct}, \nabla)$ se comporta como quadrivetor?

11-Transformadas de Campo:

O campo eletromagnético tem uma maneira muito específica de se transformar entre referenciais, isso acontece porque as equações que o descreve são invariantes.
Conseguir a maneira que o campo eletromagnético se transforma por meio das equações de Maxwell pode ser uma tarefa trabalhosa, contudo existem argumentos e induções que conseguem as transformaões corretas.

a) Considere, por exemplo, dois planos infinitos, separados em $z$, que estão em repouso num referencial $S$. Calcule o campo elétrico entre os planos e sua direção. O plano carregando positivamente está atrás do negativo em $z$.

b) Considere agora que você está num referencial $S'$, que se move com uma velocidade $v$ no eixo $x$ em relação a $S$. Calcule qual o campo elétrico e magnético entre os capacitores, em função dos campos em $S$, no seu referencial bem como as direções destes. Perceba que há uma simetria entre fazer o boost em $x$ e $y$, o importante é que são direções perpendiculares à distância entre os capacitores.

c) O exemplo passado foi de um boost de Lorentz numa direção ortogonal ao campo elétrico, qual deveria ser os campos caso o boost fosse aplicado na direção $z$?

d) Considere agora que, ao invés de um capacitor, você tem um solenóide muito longo que se estende na direção $x$. Calcule quanto vale o campo magnético deste no referencial em que ele está em repouso.

e) Calcule o campo elétrico e magnético do solenóide, bem como suas direções, medidos num referencial $S'$, que está se movendo com $v$ em relação a $S$ no eixo $x$.

f) Considere agora que você escolhe um referencial $S$ em que os capacitores estão se movendo com uma velocidade $v_{o}$ no eixo $x$. Desta maneira, eles já tem um campo elétrico e magnético, em geral, não nulos entre eles. Então, encontre quanto deve valer os campos elétricos e magnéticos para um referencial que se move com uma velocidade $v$ em relação a $S$ no eixo $x$. Faça o mesmo trocando o capacitor do plano $xy$ para o plano $xz$. Como ficam as equações? A junção dessas duas transformadas deve dar a transformada completa do campo transversal ao boost.

g) Escreva agora a transformada completa dos campos de um referencial $S$ para um $S'$. Disso, demonstre que as quantidades:

$E^2-c^2B^2$ e $\vec{E} \cdot \vec{B}$

São invariantes relativísticas.

h) Como corolário do resultado anterior algumas propriedades devem valer, mostre que:

1- Se em um referencial existe apenas campo elétrico (magnético), então não existe nenhum referencial em que o campo elétrico (magnético) é nulo.

2- Se em um referencial o produto escalar do campo elétrico e magnético é não nulo, então em nenhum referencial o campo magnético ou elétrico podem ser nulos.

3- Se em um referencial o campo elétrico e magnético são perpendiculares, então eles o são em todos referenciais.

4- Se em um referencial vale que o campo elétrico é igual ao magnético vezes a velocidade da luz, isto vale em todo referencial.

5- Se, em um referencial, vale que o campo elétrico é igual ao magnético vezes a velocidade da luz, então você pode expressar o módulo do campo elétrico em qualquer referencial como uma função do ângulo entre ele e o campo magnético, e que não existe referencial em que ele é nulo, a não ser que ele seja nulo em todos referenciais.

12-Três Partículas:

Num referencial $S$, três partículas de mesma massa estão saindo com velocidade $v$ de um mesmo ponto $P$. Encontre o ângulo que uma delas vê as outras fazerem entre si.

13-Ciclóide:

Considere uma partícula de carga $q$ e massa $m$, que num referencial $S$ está inicialmente em repouso. Ela está sob a ação de um campo elétrico $E$ no eixo $x$ e um campo magnético $B$ no eixo $y$, tal que $cB>E$. Encontre a posição e velocidade dessa carga em função do tempo $t$. Em que referencial existe apenas campo magnético? Calcule o movimento na partícula nele. Qual o campo elétrico e magnético no referencial da partícula? Quais suas direções?

14-Eletro(Magnetismo?):

Um exemplo conhecido do eletromagnetismo em relatividade é o do fio infinito neutro carregando corrente. Você pode entender um fio neutro com corrente como sendo composto de uma densidade $\lambda$ de cargas positivas, se movendo para a direita com $u$, somada com uma densidade $-\lambda$ de cargas negativas se movendo para a esquerda com $u$, de tal maneira que as somas dão a densidade e corrente que você mede fisicamente.

a) Suponha que você esteja num referencial $S$, em que o fio não é carregado, nesse referencial não existe campo elétrico, contudo existe campo magnético. Considerando que existe uma partícula estacionária a uma distância $r$ desse fio, qual a força sobre ela?

b) Agora considere um referencial $S'$, que está se movendo com uma velocidade $v$ em relação a $S$ no eixo do fio. Encontre a força elétrica que o fio exerce na carga. Se a força sobre a carga fosse só elétrica, a física em $S'$ seria consistente com a física em $S$? Se não, qual deve ser a magnitude e direção da força de correção?

c) Supondo que apenas existisse sobre partículas essa força de correção, e não a elétrica, a física para os referenciais inerciais seria consistente? Se não, pode-se concluir que a força elétrica e a de correção são duas manifestações da mesma entidade.

15-Linhas de Campo são reais:

É comum imaginarmos linhas de campo apenas como ferramentas matemáticas sem sentido físico direto, contudo elas contém algumas propriedades fortes quando se trata de transformações entre referenciais. Diretamente da lei de Gauss, o número de linhas de campo atravessando uma superfície é um invariante relativístico. Usando esse fato, e a interpretação do campo elétrico como densidade de linhas de campo, encontre o campo elétrico de uma carga elétrica pontual num dado ponto do espaço, sabendo que ela se move no referencial estudado a uma velocidade $v$.

16-Momento Escondido:

Imagine um loop de lados $l$ no plaxo $xy$ sendo percorrido por carga, isto é uma visão simplória de um dipolo magnético. Numa visão clássica já é conhecido que esse loop pode possuir algum tipo de momento eletromagnético se sujeito a um campo elétrico externo, contudo, não é fácil ver que com o campo ele também ganha um momento mecânico.

a) Considere o loop num referencial $S$ em que ele está parado. Considerando que ele se encontra num estado estacionário e está na presença de um campo elétrico $E$ no eixo $y$, expresse a condição de continuidade de carga dele nos ramos superior e inferior em função da velocidade $u_{\pm}$ das cargas em cada um, número de partículas $N_{\pm}$ e outras variáveis do loop e das cargas.

b) Calcule o momento mecânico total do loop pela fórmula clássica e relativística do momento, e depois expresse isso como função do momento de dipolo magnético do loop e do campo externo.

c) Calcule a expressão para o momento mecânico do loop num referencial $S'$ se movendo com velocidade $v$ em relação a $S$ para o caso desta ser em $x$, $y$ ou $z$. A relação entre momento mecânico e de dipolo continua válida? Por que?