Lista Foice 07 (Victor)

01-Corpo Negro:

A radiação do corpo negro é um dos problemais mais conhecidos da Física, não por acaso, mas pelo fato que foi algo que revolucionou toda ciência. Um corpo negro é, idealmente, um corpo que não reflete nenhuma radiação que recebe, a absorvendo toda.
Uma idealização de um corpo negro é gerada com um objeto opaco a radiação com um buraco muito pequeno, tal que toda radiação que entra pelo buraco fica presa, pois é arbitrariamente improvável que ela volte. Desta forma, toda radiação que entra é absorvida, pela razão da observação anterior.

Figura 01: Idealização de um corpo negro. Corpo opaco com um pequeno buraco por qual a radiação entra e sai. A radiação que entra reflete indefinidamente entre as paredes sem nunca sair, podendo ser considerada presa ao corpo, como se ele tivesse a absorvido.

Vamos tentar calcular a energia eletromagnética dentro dessa caixa, uma vez que ela entra em equilíbrio termodinâmico com o meio externo que está a uma temperatura $T$, em função de sua temperatura e parâmetros físicos. Nosso resultado é geral para uma caixa de formato genérico, uma vez que a densidade de energia é um parâmetro intensivo que não deve depender do formato ou tamanho do nosso sistema, desde que ele seja suficientemente grande.

a) Considere uma região cúbica do espaço com comprimento $L$. Calcule quais as condições para que o campo elétrico tenha valores nulos nos contornos dessa caixa. Encontre, a partir dessas condições, os vetores de onda permitidos para essa região, isto é, a forma geral dos:

$\vec{k}=(k_{x},k_{y},k_{z})$

Apenas esses vetores de onda existirão na nossa caixa, uma vez que o campo elétrico deve ser nulo no corpo.

b) Dado os vetores de onda permitidos, se é possível contar o número de estados possíveis num dado range de vetores de onda, isso pode nos facilitar bastante com as contas. Considere que nós queremos analisar a energia eletromagnética contida num pedaço de volume $V$, que é nosso contorno cúbico, calcule a contribuição de energia das ondas com vetores de onda com módulo entre $k$ e $k+dk$ contida nesse contorno, sendo $dk$ um diferencial de vetor de onda. A energia média de uma onda eletromagnética com vetor de onda $k$, ou frequência $f$, é $E(f)$. Você pode escrever essa contribuição como:

$dU=du V= g(f,T) df V$

Encontre com isso a densidade de energia por frequência, $g(f)$, em função de $E(f)$ e $f$.

c) De acordo com a mecânica estatística clássica, deve-se ter que a energia média de um sistema deve ser dada pela média entre os estados feita de maneira contínua. Imagine que as probabilidades para dadas energias são proporcionais a um fator de Boltzmann, encontre as expressões para densidade de energia por frequência em função da temperatura do sistema e das variáveis relevantes. Essa distribuição que você encontrou é a de Raylegh Jeans, que de fato é a correta pela física clássica, e que começou a catástrofe do ultravioleta.

d) O nome catástrofe do ultravioleta está relacionado ao fato de que a função encontrada consegue descrever muito bem a curva da densidade de energia por frequência para frequências baixas, contudo ela gera absurdos físicos quando a extendemos para frequências maiores. Claramente algo está errado com algum de nossos pressupostos, mas podemos estudar com mais cuidado as restrições sobre as funções em questão antes de criarmos suposições, desta maneira podemos evitar erros. Com a expressão encontrada primeiro nós temos a densidade de energia eletromagnética a par de uma função $E(f)$, a origem de muito trabalho para os físicos do século XX. A primeira restrição reside no fato de que a energia eletromagnética deve ser finita, do contrário teríamos absurdos físicos, então se integrarmos a contribuição de todos vetores de onda devemos ter um número finito:

$u= \int_{o}^{\infty} g(f) df \leq M$

Para $M$ sendo um real positivo, portanto:

$lim_{f \rightarrow \infty} g(f)=0$

Mais especificamente, foi encontrado que a densidade de energia para altas frequências deve se comportar em boa aproximação pelo fit de Wien a partir da curva experimental:

$g(f,T)=\frac{8\pi hf^3}{c^3} e^{-\frac{hf}{k_{b}T}}$

Portanto nossa função correta deve ter isto como assíntota. Um dos sucessos da fórmula de Wien é a reprodução consistente de um pico de densidade de energia em algum valor de $f$. A partir da fórmula de Wien, introduza uma distribuição de energia $g'(\lambda)$, tal que:

$du=g'(\lambda) d\lambda$

Encontre qual deve ser o $\lambda$ que maximiza a distribuição de energia e sua relação com a temperatura. Também encontre como deve se comportar a energia média a uma frequência $f$ de acordo com a fórmula de Wien. O que isso sugere, a partir da mecânica estatística?

e) Considere uma função partição de um sistema discreto, tal que todos os estados energéticos tem suas energias aumentadas com o crescimento de um mesmo fator $\chi$, qual deve ser a energia desse sistema quando $\chi$ vai a infinito? Quebre em casos, tendo acesso a todas as energias em ordem decrescente {$\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...$}. Imaginando nosso sistema de corpo negro como um desse tipo, podemos pensar no fator $\chi$ como a nossa frequência, e, analogamente, supondo que todos os estados de energia do corpo negro crescem com a frequência, como deve ser a energia do estado de menor energia? E no primeiro estado excitado?

"The whole procedure was an act of despair because a theoretical interpretation (of black-body radiation) had to be found at any price, no matter how high that might be…I was ready to sacrifice any of my previous convictions about physics. For this reason, on the very first day when I formulated this law, I began to devote myself to the task of investing it with true physical meaning"-Max Planck

f) Aqui é que está o pulo do gato, ou desespero de Planck. Ao perceber que se realizando a média de energia do sistema de maneira contínua ele tem um resultado absurdo, ele propõe uma outra maneira. Se ele suposse que o espectro de energia é discreto, mas comprimido o suficiente pra se tornar contínuo no limite de espaçamentos pequenos, ele poderia conseguir o mesmo resultado. Supondo então que a energia do sistema é composta de múltiplos de um certo $\varepsilon$, encontre qual deve ser a energia média de frequência em $f$, $E(f)$, em função de $\varepsilon$ e consiga o valor deste em função de $f$ e $h$.

g) Demonstre que a distribuição de energia encontrada pela hipótese de Planck atende corretamente às restrições citadas antes. Perceba que o resultado clássico se resume a fazer $h \rightarrow 0$, contudo, para o nosso resultado ser compatível com o experimento, $h$ não pode ser zero, destruindo nossa volta ao resultado clássico e nos mostrando que a física do fenômeno não pode ser contínua. Deste resultado nasce o começo da Mecânica Quântica, use dele agora para calcular a densidade de energia total do campo eletromagnético em função da temperatura $T$ do sistema e das diversas grandezas físicas. Pode ser útil usar que:

$\int_{0}^{\infty} \frac{x^n dx}{e^x-1}=\Gamma(n+1) \zeta(n+1)$

Sendo as funções do resultado da integral a função Gamma e a função Zeta de Riemann respectivamente, com:

 

$\Gamma(4)=3!=6$ e $\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$

h) Mais forte que a densidade de energia do campo eletromagnético, em questão de mensurabilidade, é a potência emitida de uma superfície por unidade do tempo, e podemos encontrar essa grandeza facilmente a partir da densidade de energia do campo. Encontre, por exemplo, a radiação por unidade de tempo e área emitida atráves do buraco do nosso problema, e com isso mostre que respeita uma relação do tipo:

$J=\sigma T^4$

Onde $T$ é a temperatura absoluta da radiação eletromagnética. Encontre o valor de $\sigma$ em função de constantes físicas.

02-PV = nRT?:

A radiação eletromagnética é um sistema físico com propriedades diferentes do usual. É natural esperar que um gás de luz, mais especificamente fótons, é o limite de um gás ideal com $v \rightarrow c$, um gás ultrarelativístico, contudo há um erro escondido nessa suposição.

a) Considerando o gás de fótons como feito de partículas com velocidade $c$, mostre que deve valer:

$U=3PV$

Em que $U$ é sua energia interna, $V$ seu volume e $P$ sua pressão. Considere o gás homogêneo e isotrópico

b) Encontre, do item anterior, a pressão desse gás em função da temperatura, isto é função de mais alguma variável?

c) Calcule, a partir do que você conhece sobre a radiação eletromagnética, seu número $N$ de "partículas" em função das variáveis do gás e funções Gammas ou Zetas adequadas, e, mais especificamente, encontre:

$\frac{PV}{Nk_{b}T}=?$

03-Estrelas:

Considere uma estrela gigante vermelha, parecida com o sol, em que várias reações nucleares estão ocorrendo. Devido à geração de energia ao longo da crosta, a estrela tem um gradiente interno de temperatura. Com base nessas considerações, encontre a distribuição de temperatura no equilíbrio da estrela em função da distância $r$ ao centro, conhecendo sua condutividade térmica $\kappa$, geração de potência por volume $u$, seu raio $R$ e todas constantes físicas necessárias.

04-Átomos são Instáveis:

Da teoria de Rutheford, os físicos já modelavam o átomo como sendo composto de um núcleo positivo, nos quais estavam presentes prótons e nêutrons, e elétrons que se mantinham presos ao átomo ao longo que orbitavam o núcleo. O modelo parece bem simples, explica bastante coisa (como os resultados de experimentos de espalhamento), contudo ele tem um grande erro: Não explica a estabilidade atômica.

a) Cargas elétricas aceleradas emitem radiação, isso já era um fato bem conhecido, logo era esperando que os elétrons orbitando o núcleo iam perder mais e mais energia ao longo de suas órbitas até que eles iriam colidir e colapsar com o núcleo. Considere um elétron inicialmente numa órbita circular a uma distância $r$ de um núcleo com número atômico $Z$, estime o tempo de colapso do elétron. Isto é físicamente consistente com o que vemos na natureza?

Obs: Pode ser útil usar que a potência emitida por uma carga acelerada, classicamente, é:

$P=\frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_{o}c^3}$

Onde $q$ é a carga e $a$ a aceleração da partícula.

b) A maior evidência que o modelo de Rutheford é falho é que estamos vivos aqui hoje. Não tendo dúvida disto, pode-se inferir que precisamos corrigir o modelo com algo a mais. Talvez outro problema possa nos guiar, como o problema da emissão atômica. Era esperado que o elétron pudesse ter um espectro contínuo de energia enquanto estivesse no átomo, e disso seria possível obter uma emissão de radiação dele ao longo de todo o espectro eletromagnético, o que poderia ser muito bem visto em experimentos de difração. De fato pode-se observar um espectro de emissão de átomos esquentados, contudo bem diferente do previsto, invés do espectro ser espalhado varrendo todos os ângulos possívels, ele foi concentrado em alguns pontos específicos, e sendo conhecido por trabalhos passados a relação entre energia e comprimento de onda (Fator que dispersa a luz), talvez a energia atômica pudesse conter apenas alguns valores específicos.
Pense no hidrogênio, modele o átomo como um núcleo estacionário com um elétron em órbita. Nesse modelo, você deve conseguir encontrar a relação entre algumas variáveis da órbita do elétron. Podemos dizer que a órbita do elétron é descrita por quatro variáveis, sua energia, momento angular, velocidade e raio. Você consegue reduzir esse número de variáveis para quantas?

c) A energia da órbita circular do átomo de hidrogênio ainda não é totalmente definidada, e de fato existem várias energias possíveis pois ainda existem vários raios de órbita possíveis. Se nosso resultado ainda é válido para o hidrogênio, vale que o raio da órbita deverá assumir apenas alguns valores específicos. No experimento com raias espectrais se observou a relação experimental para os comprimentos de onda encontrados:

$\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n_{1}^2}-\frac{1}{n_{2}^2})$

Onde $n_{1}$ e $n_{2}$ são inteiros e $R$ é uma constante. Dessa maneira, supondo que a radiação é proveniente da transição do elétron entre duas energias possíveis, interprete $n$ como um número relacionado ao nível de energia e encontre como deve ser a forma geral da energia de uma órbita eletrônica, bem como seu momento angular, velocidade, raio e frequência.

d) Dessa relação você encontrará algumas coisas, uma delas é que o momento angular é quantizado, i.e, múltiplo de um valor constante. Calcule o valor do momento angular do elétron. Qual a área interna à trajetória do elétron no espaço de fase da variável $\theta$?

e) Diante dos resultados no espaço de fase, Sommerfield formulou a hipótese de que o resultado de Bohr era apenas o caso particular de um fenômeno mais geral, gerando com isso a formulação de Bohr-Sommerfield:

$\oint_{\Gamma} p_{i}dq_{i}=n_{i}h$

Para um sistema semi-períodico, a integral de caminho do momento conjugado ao longo da trajetória da partícula no espaço de fase deve ser igual a um múltiplo inteiro da constante de planck $h$. Mostre que a quantização do momento angular do elétron no hidrogênio segue como corolário disso.

Obs: Momento conjugado é uma definição da mecânica analítica, contudo é algo de fácil definição a partir da lagrangiana do sistema. A lagrangiana de um sistema é a função:

$L([q_{i},\dot{q_{i}}])=T-V$

Onde $L$ é uma função explícita das coordenadas generalizadas $q_{i}$ (ângulo, posição em $x$, etc) do sistema, e de suas respectivas derivadas no tempo. $T$ é a energia cinética do sistema e $V$ sua potencial. O momento conjugado $p_{i}$ é:

$p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}$

Por exemplo, imagine uma partícula livre unidimensional, nela temos $V=0$ e $T$ sua cinética simplesmente:

$L=\frac{mv^2}{2}=\frac{m\dot{x}^2}{2}$

Daí:

$p_{x}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}} (\frac{m\dot{x}^2}{2})=m\dot{x}$

O que esperamos de um momento em $x$! O momento conjugado à variável $\theta$, por exemplo, é o momento angular. O número de coordenadas generalizadas deve ser igual ao número de graus de liberdade do sistema.

f) Ache, a partir do resultado encontrado, quanto valem as energias permitidas dos seguintes sistemas físicos:

1- Partícula de massa $m$ presa numa caixa unidimensional de tamanho $a$.

2- Oscilador Harmônico com frequência natural $\omega$.

3- Bola de massa $m$ quicando elasticamente num chão devido a um campo gravitacional $g$.

g) Podemos estimar com o resultado de Sommerfield algumas propriedades da matéria. Se suposto as partículas que compõem o universo não estando em um estado definido mas oscilando de valores de momento e posição por uma certa incerteza, estime quanto deve ser esta usando que este comportomento deve ser consistente com a fórmula de Bohr-Sommerfield. Esta é o princípio da Incerteza de Heisenberg, que não permite que tenhamos conhecimentos arbitrário sobre o(a) momento(posição) de uma partícula, para uma dada precisão no conhecimento de sua(seu) posição/momento.

05-Lápis:

Considere um lápis de massa $m$ e tamanho $L$ num campo gravitacional $g$. Fabíola coloca o lápis, perfeitamente, em pé na sua mesa para mudar a música da sua playlist no Spotify, até que, quando olha novamente, percebe que seu lápis caiu. Assumindo que os efeitos que fizeram o lápis cair foram puramente quânticos, estime o mínimo de tempo que Fabíola gastou até olhar novamente para ele. Estime o resultado numericamente para um lápis padrão.

06-Ondas e Partículas:

No caso do corpo negro e do átomo os cientistas foram inspirados a concepções físicas devido a experimentos, mas um outro chegou a conclusões de forma extremamente teórica: De Broglie. Mesmo com os argumentos físicos exatos de De Broglie não sendo tão interessantes no contexto atual, foi com eles que com sucesso ele previou algumas propriedades da matéria que foram encontradas anos depois.

a) Pode-se entender a ideia de De Broglie como uma extensão da ideia de que a luz era uma onda e partícula para partículas massivas. Dessa maneira, pode-se extender a relação $\lambda(p)$, válida para luz, também para partículas. Encontre o comprimento de onda de uma partícula em função de seu momento, e depois em função de sua velocidade e massa.

b) Um paralelo entre a mecânica e a ondulatória pode ser visto de maneira mais clara quando consideramos a mecânica analítica. A trajetória da luz é definida por um princípio variacional, o tempo de travessia de um percuso dela, entre dois pontos, deve ser estacionário para variações de seus parâmetros:

$\delta t= \delta \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{n(\vec{x})}{c} dl=0$

Onde $n$ é o índice de refração do meio, que é a fração da velocidade da luz no vácuo pela velocidade de fase dela no meio. Analogamente ao princípio variacional óptico, também existe um princípio variacional da mecânica, que minimiza a chamada ação da partícula entre dois pontos:

$\delta S= \delta \int_{x_{1}}^{x_{2}} L(\vec{x}) dt=0$

A analogia entre os dois princípios é muito clara quando estamos falando de uma partícula livre. A ação de uma partícula livre se movendo numa direção $\hat{p}$ é:

$S=\vec{p}\cdot \vec{x}-Et$

E análogo a a ela existe o eikonal da onda, ou fase $\phi$:

$\phi=\vec{k} \cdot \vec{x}-\omega t$

É esperado que, tendo a matéria comportamento ondulatório e sendo o princípio variacional correto e suficiente para prever o movimento dela, as funções devem ser múltiplas uma da outra. Encontre $\lambda(p)$

c) O trabalho de De Broglie foi muito influenciado pelo de Einstein, Planck e Bohr, tanto que um dos sucessos de sua teoria foi explicar a quantização de momento angular numa órbita do elétron do hidrogênio. Considerando que o elétron tem um comportamento ondulatório, é justo associar a ele uma fase, e também se inferir que esta esteja associada a sua propagação no espaço. Usando argumentos de simetria, encontre a condição de órbita circular do elétron supondo seu comportamento ondulatório.

07-Caixa Fechada:

As propriedades de quantização de energia de uma partícula podem ser vistas de uma maneira bem simples no problema da parede de potencial infinito. Considere o problema unidimensional, em que uma partícula de massa $m$ está presa numa região do espaço cujo potencial é zero, e fora dela o potencial é infinito. A região se estende desde $x=0$ até $x=a$, a partir disso:

a) Uma maneira famosa de abordar esse problema é considerando que a partícula existindo, e estando presa nessa região, deve ter uma condição periódica de contorno devido a seu comportamento ondulatório. Considerando que a função que descreve a partícula deve ser harmônica e zero nas duas regiões que delimitam a sua existência, escreva quais são os comprimentos de onda possíveis dessa onda.

b) Considerando que a partícula está num regime tal que a velocidade pode ser da ordem de $c$, então encontre quais devem ser as energias possíves dessa partícula, assumindo a hipótese de De Broglie válida. Qual a pressão que ela exerce no meio externo, quando está no nível $n$ de energia?

c) Considere agora que você tem $N$ partículas não interagentes numa caixa cúbica de tamanhos $L$, e que as hipóteses iniciais são ainda válidas. Imagine que você coloca essa caixa (que pode trocar calor com o meio externo) num ambiente muito grande de temperatura $T$. Encontre qual deve ser a distribuição de energia do sistema dentro da caixa, bem como sua capacidade calorífica em função dos parâmetros dela, constantes físicas, temperatura do meio externo, $N$ e somatórios necessários (pode ser em qualquer variável, desde que a soma seja computável caso aplicada num computador).

d) No limite em que $v \approx c$, qual a energia média, pressão e capacidade calorífica da caixa, se ela for unidimensional? Expresse sua resposta da maneira mais reduzida possível.

08-Incertezas:

Considere um forno a temperatura $T$, do qual partículas de massa $m$ são emitidas, e que elas saem por um buraco muito fino de diâmetro $a$ (com tamanho da ordem de átomos). Estime o diâmetro do feixe após um tempo $t$, o valor do diâmetro inicial que minimiza esse valor, e o valor mínimo em função de $t$.

09-Debye e Sólidos:

Um dos outros problemas da física do século XX foi a falha da termodinâmica clássica na previsão da capacidade térmica dos sólidos próximos ao zero absoluto. Apesar de o problema ser bastante complicado, pode-se o entender de maneira bem simples se procurarmos apenas a dependência correta em $T$.

a) Considere que estamos estudando como as ondas de pressão, que carregam a vibração nos átomos e geram energia, devem se comportar. Considerando uma rede cúbica de tamanho $L$, pode se afirmar que a tensão sobre ela deve ser zero nas extremidades, e com essa condição de contorno se percebe que a vibração dos átomos não pode ser qualquer uma. Encontre como devem ser os modos de vibração do cristal, sendo eles funções harmônicas.

b) Correspondendo cada modo desse a um estado excitado, e considerando que cada estado excitado carrega energia $k_{b}T$, encontre o número de modos excitados a uma temperatura $T$. Qual a energia do cristal? E sua capacidade térmica? Como isso mudaria para $d$ dimensões? A expressão que você encontrou tem a dependência correta encontrada por Debye usando mecânica quântica de maneira mais formal.

10-Pra não dizer que não falei das flores:

A mecânica quântica é a teoria com maior comprovação experimental da história da ciência, pode ser um fato um pouco incômodo devido à sua estranheza, mas essa estranheza é algo que todo bom cientista deve se acostumar a lidar. Em mecânica clássica você consegue, a partir das configurações iniciais de posição e velocidade de um sistema de corpos, seus movimentos completos em função do tempo. Esse aspecto determinístico da mecânica foi perdido no século XX, quando se viu que a mecânica de Newton já não mais conseguia explicar a física dos átomos e moléculas, e dela surgiu a mecânica quântica, e mais especificamente a mecânica ondulatória.
Em mecânica quântica a noção de posição e velocidade não faz mais tanto sentido, em seu lugar ficaram os operadores batizados em seus nomes e muitas analogias. A descrição mais completa de um estado quântico vem de sua função de onda, que é uma entidade física, mais especificamente um número complexo, cujo módulo quadrado dá a densidade de probabilidade de se encontrar uma partícula num certo volume do espaço:

$\psi=\psi(x,y,z,t)$

$dP=|\psi|^2 dV$

Tal que, estados normalizados (físicos) devem respeitar:

$\int |\psi|^2 dV=1$

A mecânica ondulatória tem como sua base matemática a álgebra linear, para resolução de problemas mais conceituais não é necessária a compreensão de todos seus detalhes, mas vale guardar algumas definições, como:

Autovelor e Autovalor:
É dito que um número $\lambda_{a}$ é um autovetor do operador $A$ com autofunção $\psi_{a}$ se:

$A\psi_{a}=\lambda_{a} \psi_{a}$

A equação de Schrondinger é a equação de dinâmica temporal da mecânica quântica. Enquanto na mecânica newtoniana você consegue a descrição completa do movimento de uma partícula com sua posição e velocidades iniciais, aplicados com o conhecimento da segunda lei de Newton, em mecânica quântica a equação de Schrondinger diz como a função de onda de uma partícula evolui no tempo.

a) Um tratado detalhado dos postulados da mecânica quântica e teoria da medida pode construir a base e resultados de toda a teoria, contudo muitos livros de mecânica ondulatória apenas postulam a equação de Schrondinger:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H} \psi$

Sendo $\hat{H}$ a versão quântica do Hamiltoniano ("energia") de uma partícula:

$H=T+V=\frac{p^2}{2m}+V \rightarrow \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{V}$

E trocando o momento da partícula pelo operador momento:

$\vec{p} \rightarrow \hat{\vec{p}}=\frac{\hbar}{i} \nabla \psi$

Nós conseguimos o operador Hamiltoniano, e portanto a equação de Schrondinger dependente do tempo:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi+V\psi$

Existem algumas aplicações úteis da equação de Schrondinger, como no caso em que o estado quântico é estacionário, isto é, $|\psi|^2$ é constante no tempo, e vale que o estado é autofunção do Hamiltoniano:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}= H\psi=E\psi$

Em que $E$ é um número, sendo mais específico, a energia do estado.

a) Algumas propriedades da equação de Schrondinger são muito úteis, por exemplo, mostre que a função de onda deve ser um contínua em todos argumentos, e, se o potencial for finito, seu gradiente também.

b) Considere a partir de agora o problema como unidimensional. A solução da equação de Schrondinger para uma partícula com energia $E$ num meio com potencial $V$, ambos constantes, pode se comportar de duas maneiras possíveis. Descreva quais são as duas e qual representa uma solução que em geral pode ser normalizável. Ambas as soluções tem um comprimento característico, diga quanto ele vale e o que representa em cada uma.

c) Use do que você deduziu e construiu para encontrar as energias permitidas de uma partícula de massa $m$ presa numa região do espaço que vai de $x=0$ até $x=a$, sendo o potencial nessa região nulo e fora dela infinito.

d) Analogamente a uma onda comum, a função de onda quando se propagando pelo espaço pode ser refletida e transmitida por barreiras, tal que respeita algumas restrições. Considere a função de onda que descreve uma partícula de massa $m$ se propagando no espaço. Existe um poço com potencial $-V_{o}$ numa região do espaço que vai desde $x=0$ até $x=a$. Calcule a condição para que esse estado seja estacionário, i.e, autoestado de energia e encontre as energias permitidas do sistema.

e) Considere um potencial tipo delta de dirac negativo:

$V=-V_{o} \delta(x)$

Calcule quais são os autoestados de energia para esse potencial e suas respectivas energias.

11-Férmions de novo:

Podemos abordar o problema da estatística de partículas indistinguíveis usando combinatória e um pouco de física.

a) Dado que a probabilidade de um bósons ocupar um estado é $P_{1}$, encontre a probabilidade de $n$ bósons, que são por definição indistinguíveis, ocuparem esse estado.

b) A conexão com a dinâmica do sistema pode ser feita pelo fator $R$. Define-se como $R_{ij}$ a probabilidade por tempo de que uma partícula no estado $i$ vá para o estado $j$. Escreva a condição de equilíbrio para todos os estados quânticos em função dos $R's$ e do número médio de ocupação $n_{i}$ de cada estado.

Obs: Você pode considerar que toda transição $i \leftrightarrow j$ está em equilíbrio.

c) Considere o caso de um sistema de partícula distinguíveis. Aplicando o que você conhece sobre o número de ocupação médio nesse tipo de sistema, ache os fatores $R_{ij}$ a par de uma constante, conhecendo a temperatura $T$ do sistema e a energia $\varepsilon_{i}$ de cada estado.

d) Encontre o número de ocupação médio de um estado bosônico de energia $\varepsilon_{i}$, sabendo que, para a energia tendendo ao potencial químico do sistema, a ocupação deve ir a infinito.

e) Faça o mesmo processo para férmions, considerando que um estado quântico pode ter um ou zero deles. Encontre o número de ocupação médio de um estado de energia $\varepsilon_{i}$, o fator de potencial químico é similar ao do caso dos bósons.

12-Lasers:

Laser é uma abreviação do inglês, que significa Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Esse nome é diretamente ligado às definições de transições de níveis energéticos. Imagine que você tem uma partícula que pode assumir alguns níveis energéticos, sendo dois deles $E_{1}$ e $E_{2}$, tal que $E_{2}>E_{1}$. A essa situação existem três mecanismos relevantes que regem a transição entre níveis da partícula:

1-Emissão Espontânea: Existe uma chance não nula de que uma partícula no nível de energia $E_{2}$ decaia para $E_{1}$ emitindo assim a energia residual na forma de um fóton.

2-Absorção Espontânea: A partícula, quando no nível $E_{1}$, pode ser atingida por um fóton, o absorvendo e subindo para o nível $E_{2}$.

3-Emissão Estimulada: Um fóton pode estimular a partícula no nível de energia $E_{2}$ a decair para $E_{1}$ emitindo outro fóton, tendo no final do processo dois fótons.

Podemos, com base nesses mecanismos, modelar como deve ser a situação de um sistema no equilíbrio, quando em presença de radiação eletromagnética.

a) Escreva, contendo um termo para cada mecanismo, a taxa de transição de partículas do sistema $E_{1}$ para $E_{2}$ e de $E_{2}$ para $E_{1}$, você pode usar que as taxas de absorção e de emissão estimulada devem ser proporcionais à densidade de energia por frequência do campo eletromagnético.

b) Escreva a condição de equilíbrio dinâmico do sistema, e mostre que o fator multiplicativo da densidade de energia na emissão e absorção devem ser iguais. É conhecido que um corpo que absorve bem uma cor também emite ela bem, isso é corraborado pelo seu resultado?

c) Ache a razão entre a taxa de emissão espontânea para a taxa estimulada, como isso se comporta em função da diferença de energia dos níveis? Como a temperatura afeta nisso?

13-Metais in a Nutshell:

Podemos modelar metais muito bem através de uma abordagem quântica, um exemplo disso é o modelo do gás de elétrons. O gás de elétrons é um modelo para o estado eletrônico num metal, em que é assumido que o elétron pode se propagar livremente ao longo dele e que está sujeito ao princípio de exclusão de Pauli.

a) Considerando o sólido no zero absoluto, os elétrons que o constituem, como bons férmions, apenas podem ocupar até um certo nível de energia. Existem também outras restrições, como a que o elétron poder mover-se livremente apenas dentro de uma região retangular. Conte o número de estados eletrônicos possíveis sabendo que esse retângulo tem lados $l_{x}$,$l_{y}$ e $l_{z}$ e que o vetor de onda do elétron pode ter seu módulo valendo no máximo $k_{f}$, que é o chamado momento de Fermi, que está relacionado com a energia de Fermi, a máxima energia do elétron nessa situação. Encontre o momento e energia de Fermi em função do número de elétrons por volume $\rho$ e sua massa $m$.

b) Encontre a energia total do sistema em função do número de átomos $N$ dele, bem como do seu número de elétrons livres por átomo $q$ e de seu volume $V$, assuma os elétrons como não relativísticos. Encontre também com isso sua pressão, quanto vale $U$ em função de $P$ e $V$? Essa pressão é a chamada pressão de degenerescência, ela que mantém muitos sistemas físicos coesos, e não tem nada a ver com interações de repulsão eletromagnética ou forças físicas, mas com o princípio da exclusão de Pauli. A própria natureza quântica dos elétrons explica sua estabilidade.

14-Mais Estrelas:

Uma estrela é afetada por suas reações nucleares, mas uma vez que essas terminam ela evolui para uma nova forma, que é definida de maneira relevante por outras energias.

a) Nesse problema trataremos duas formas de energia, a cinética dos elétrons da estrela e a potencial gravitacional dos seus constituintes. Nesse contexto, faz sentido definir o conceito de núcleon, que pode ser um próton ou neutron no nosso caso, e associar a cada um uma massa $m_{n}$ e a cada elétron uma massa $m_{e}$. Tratando ainda o elétron como não relativístico, encontre a energia cinética total do sistema (Obs: Ignore o efeito da temperatura não nula na distribuição deles). Você pode considerar a estrela como feita inteiramente de hidrogênio, e também que ela tem no total $N$ núcleons no seu raio $R$.

b) Calcule a energia potencial gravitacional da estrela assumindo que ela tem uma distribuição homogênea de massa ao longo dela. Qual o raio de equilíbrio do sistema? Uma estrela com esse tipo de configuração é chamada de Anã Branca, contudo elétrons muito rápidos podem ser perigosos à estabilidade desse sistema.

c) Resolver o problema considerando elétrons relativísticos pode ser extremamente trabalhoso, mas, se você supor que os elétrons estão tão rápidos que $v \approx c$, as contas ficam extremamente simples. Encontre a energia cinética do sistema no caso ultrarelativístico e com isso estabeleça uma condição para estabilidade do sistema, em que caso a estrela vira uma Anã Branca? O que ocorre no outro caso? Calcule a massa crítica da estrela que separa um caso do outro.

d) Não estávamos considerando a energia cinética dos outros constituintes do sistema nas contas passadas, mas no colapso de uma estrela isso pode ser bastante relevante, uma vez que os elétrons relativísticos não chegam num equilíbrio definido com a energia gravitacional. Uma estrela colapsando quando muito comprimida começa um processo chamado decaimento beta reverso:

$e^{-}+p^{+} \rightarrow n+ \nu$

Em que o elétron reage com um próton para formar um neutron e liberar energia na forma de um neutrino. Calcule a pressão de degenerescência da estrela uma vez que o equilíbrio da reação foi deslocamento totalmente para a direita, e encontre o raio de equilíbrio desse novo estado.

15-Quantização de Landau:

Mecânica quântica é uma teoria bastante completa, uma das suas aplicações está na precessão de cargas na presença de campos magnéticos. Suponha que um campo magnético de valor $B$ está furado uma folha de papel, com larguras $L_{x}$ e $L_{y}$.

a) Considere que, devido ao campo magnético, as cargas começam a órbitar em órbitas circulares. Calcule a frequência e raio da órbita em função da velocidade, massa e carga da partícula em questão.

b) Considere agora que o campo magnético externo começa a ser variado. Calcule o torque sobre a carga e mostre que se conserva a quantidade:

$L+\frac{eBr^2}{2}$

Onde $r$ é o raio de órbita dela e $L$ seu momento angular na direção do campo.

c) Da teoria de Sommerfield nós sabemos que a integral de caminho do momento no espaço de fase da partícula é um invariante adiabático, contudo nosso resultado do item passado dificulta a visualização disso. A definição de momento de uma partícula carregada é um pouco diferente da definição usual, encontre como deve ser o momento da partícula para que a condição de Sommerfield seja satisfeita.

d) Se a condição de Bohr sobre o momento angular da órbita for satisfeita, apenas alguns fluxos magnéticos serão permitidos dentro da órbita, ache seus valores. Ache também os valores permitidos de energia da carga, isso lembra as energias permitidas de que sistema?

16-Plasmas:

Considere um gás de elétrons muito rarefeito, inicialmente a uma temperatura $T$, sob influência de um campo magnético externo $B_{o}$. O campo magnético começa a mudar devido a influência externa numa taxa muito pequena, tal que o tempo de mudança total $\tau$ respeita $\tau >> \frac{m}{eB}$. Esse tempo $\tau$ é muito maior que o tempo característico citado, contudo ainda é muito menor que o tempo médio entre colisões do gás. Considere que você mantém esse processo até que o campo se torne $\eta B_{o}$, e que após isso você espera um tempo $t$ muito maior que o tempo médio entre colisões no gás, e retorna da mesma maneira o campo para $B_{o}$. Após o equilíbrio térmico, qual a nova temperatura do gás? Qual deve ser o número de vezes que você deve repetir esse processo para que haja uma variação de temperatura apreciável do gás?

17-Difração de elétrons:

Suponha que você acelera um jato de elétrons por meio de um potencial $V$. Com isso, eles seguem até uma amostra de pó de um cristal, sendo a distância $a$ entre os planos do cristal da ordem do comprimento de onda dos elétrons. Com isso, sabendo que eles são projetados em um anteparo a uma distância $L$ da amostra, encontra o padrão de intensidade de coleta de elétrons no anteparo, com os respectivos parâmetros calculados (largura de franjas não é necessária)

18-Radioatividade:

O fenômeno de radioatividade é gerado pelo decaimento de partículas em outras, o que ocorre a nível atômico. Cada reação atômica é descrita por um certo coeficiente, tal que a descrição de:

$A \rightarrow C$

Pode ser tida como:

$\frac{dA}{dt}=-\lambda A$

Onde $\lambda$ é a chamada constante de decaimento.

a) Dado:

$A \rightarrow_{\lambda_{1}} B \rightarrow_{\lambda_{2}} C \rightarrow_{\lambda_{3}} D \rightarrow_{\lambda_{4}}$

E:

$B(0)=C(0)=D(0)=0$ com $A(0) \neq 0$

Encontre $D(t)$

b) Considere um jato de partículas com intensidade $I$ atravessando um material. As partículas em questão podem colidir com os constituintes do material e com isso reduzir a intensidade do feixe. Sabendo que a secção de choque transversal da colisão é $\sigma$ e a densidade de partículas colisoras por unidade de volume no material é $n$, encontre $I(x)$, em que x é a distância que o feixe penetrou no material. Pode ser adequado definir um caminho livre médio $\lambda$ de uma partícula do jato como:

$\lambda \sigma n=1$

Diga o sentido de tal definição e como ela pode ajudar a visualizar a física do problema.