Revisão de Cinemática - OBF

Escrita por Antônio Ítalo

Resumo Teórico:

Movimento retilíneo uniforme:

$S=S_{0}+V \, t$

$V=cte$

Movimento retilíneo uniformemente variado:

$S=S_{0}+V_{0}\, t + \dfrac{a \, t^{2}}{2}$

$V=V_{0}+a\,t$

$a=cte$

$V^{2}=V_{0}^{2}+2 a \, \Delta S$

Movimento Circular Uniforme:

$T=cte$

$f=\dfrac{1}{T}$

$\omega= 2 \pi \, f$

$V=\omega \, R$

$a_{cp}=\dfrac{V^{2}}{R}=\omega \, R$

$\theta (t)=\theta_{0}+\omega \, t$

Movimento Circular Uniformemente variável:

$\alpha=\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}=cte$

$\omega=\omega_{0}+\alpha \, t$

$V=\omega \, R$

$a_{cp}=\dfrac{V^{2}}{R}$

$a_{tg}=\alpha \, R$

$\theta (t)=\theta_{0} + \omega_{0} \, t + \dfrac{\alpha \, t^{2}}{2}$

Lançamento Oblíquo:

$y(t)=y_{0}+V_{0y} \, t - \dfrac{g \, t^{2}}{2}$

$V_{y}(t)=V_{0y} - g \, t$

$a_{y}=-g$

$x(t)=x_{0}+ V_{0x} \, t$

$V_{x}=V_{0x}$

$V^{2}=V_{0}^{2}-2 \, g \, \Delta y$

$y(x)=x \tan \left( \theta_{0} \right) - \dfrac{ g x^{2}}{2V_{0}^{2}\cos^{2} \left( \theta \right) }$

Mudança de referenciais:

$\vec{V_{rel}}=\vec{V_{2}}-\vec{V_{1}}$

$\vec{a_{rel}}=\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}}$

Com base nesse resumo, os seguintes problemas são ótimos como revisão para a terceira fase da OBF. OBS: Apesar dos problemas estarem divididos em níveis, todos podem ser cobrados nos 3 níveis da OBF, portanto, é interessante fazer todos os problemas, começando dos mais fáceis.

Nível 1:

Problema 1:

Lawrence está em um trem que possui aceleração relativa ao solo $a$. Lawrence percebe que se jogar uma bolinha para cima ela cairá atras dele. O campo gravitacional local é $g$.

a) Explique o fenômeno.

b) Utilizando o referencial do trem, calcule o ângulo com que Lawrence deve jogar a bolinha em relação a vertical para que a mesma caia na sua mão.

c) Utilizando o referencial do solo, calcule o ângulo com que Lawrence deve jogar a bolinha em relação a vertical para que a mesma caia na sua mão.

 

Problema 2:

Uma partícula $A$ realiza um movimento circular uniforme de velocidade angular $\omega$ e raio $R$ no sentido anti-horário. Sabendo que em $t=0$ $s$ a partícula faz um ângulo $\phi_{0}$ com o eixo $x$ e, consequentemente, um ângulo $\dfrac{\pi}{2}-\phi_{0}$ com o eixo $y$, encontre:

a) A posição, velocidade e aceleração da partícula no eixo $x$ em função do tempo.

b) A aceleração da partícula no eixo $x$ em função da posição da partícula no eixo $x$.

Problema 3:

Uma bola é lançada do solo verticalmente para cima. Nos dois momentos em que a bola passa pela janela de Zé, que está a uma altura $H$ do solo, Zé realiza a medida do tempo que passou desde o lançamento. Sabendo que esses tempos são $t_{1}$ e $t_{2}$, determine a aceleração da gravidade $g$.

Problema 4:

Uma partícula $A$ está no solo quando é lançada com velocidade $V_{A}$ fazendo um ângulo $\alpha$ com a horizontal. Ao mesmo tempo, uma partícula $B$ que está a uma distância horizontal $d$ de $A$ é lançada fazendo um ângulo $\beta$ com a horizontal. Os ângulos são medidos no sentido anti-horário com relação à horizontal. Determine a condição para que as duas partículas colidam.

Dica 1:

a) Lembre-se do princípio da inércia.

b) Utilize o conceito de aceleração relativa vetorialmente.

c) Garanta que a distância percorrida pela bolinha durante o seu percurso seja igual a distância percorrida pelo trem.

Dica 2:

Utilizar trigonometria será muito útil nessa questão, contudo, também é importante utilizar o resultado da aceleração centrípeta.

Dica 3:

Você pode resolver esse problema sem calcular as raízes da equação de segundo grau que irá obter pois há uma relação conhecida entre o produto das raízes de uma equação de segundo grau.

Dica 4:

Analisar o referencial da partícula $A$ pode ser bem interessante na resolução desse problema.

Gabarito 1:

a) Podemos analisar o problema no referencial da terra. Pelo princípio da inércia, sabemos que a bolinha continuará com velocidade constante no eixo $x$, contudo, a velocidade do trem e, consequentemente, de Lawrence aumentará, sendo assim, Lawrence percorrerá uma distância horizontal maior que a bolinha durante o lançamento, o que no referencial de Lawrence é interpretado como a bolinha ganhando uma velocidade para trás e, consequentemente, se deslocando para trás.

b) e c)

$\tan \left(\theta \right) = \dfrac{a}{g}$

Gabarito 2:

a)

$x(t)=R \cos \left( \omega t +\phi_{0} \right)$

$V_{x} (t)= - \omega R \sin \left( \omega t + \phi_{0} \right)$

$a_{x} (t)= - \omega^{2} R \cos \left( \omega t + \phi_{0} \right)$

b)

$a_{x}(t)=- \omega^{2} x(t)$

Gabarito 3:

$g=\dfrac{2H}{t_{1}t_{2}}$

Gabarito 4:

Duas condições são necessárias:

$V_{B} \sin \left( \beta \right)= V_{A} \sin \left( \alpha \right)$

e também:

$0 \leq \dfrac{d}{V_{A} \cos \left( \alpha \right)-V_{B} \cos \left(\beta \right)} \leq \dfrac{2 \, V_{B} \sin \left( \beta \right) }{g}=\dfrac{2 \, V_{A} \sin \left( \alpha \right)}{g}$

Nível 2:

Problema 1:

Uma circunferência de raio $R$ está parada quando outra circunferência de raio $R$ se aproxima da mesma com velocidade $V$. Encontre a velocidade $u$ do ponto de contato entre as duas circunferências quando a distância entre os centros das mesmas é $a$.

Problema 2:

Uma partícula está realizando um movimento circular uniformemente variado de raio $R$ com aceleração angular $\alpha$ e velocidade angular inicial nula. Sabendo que inicialmente a partícula se encontra sob o eixo $x$, encontre:

a) A posição, e a velocidade da partícula no eixo $x$ em função do tempo.

b) O módulo da aceleração total da partícula em função do tempo.

Problema 3:

Uma partícula é lançada obliquamente a partir do solo com velocidade $V_{0}$ e fazendo um ângulo $\theta_{0}$ com o solo. Sabendo que a cada colisão com o solo a velocidade em $y$ da partícula troca de sinal e é multiplicada por $e$, com $e<1$, calcule a distância total percorrida pela partícula horizontalmente.

Problema 4:

Utilizando os conceitos de lançamento oblíquo e aceleração centrípeta, calcule o raio de curvatura de uma parábola qualquer $y(x)=ax^{2}+bx+c$ no seu vértice.

 

Dica 1:

Tente analisar o problema em um referencial que haja simetria. Além disso, pode ser útil notar que a velocidade deve ser tangente à circunferência que está parada.

Dica 2:

Talvez seja útil fazer o problema $2$ do nível 1 primeiro. Lembre-se de contar ambas as acelerações da partícula, a tangencial e a centrípeta.

Dica 3:

Você deve encontrar uma P.G. infinita ao resolver essa questão, deve ser útil que:

$\sum_{i=0}^{\infty}r^{i}=\dfrac{1}{1-r}$

se valer $e<1$.

Dica 4:

Será útil utilizar a equação da trajetória do lançamento oblíquo e:

$a_{cp}=\dfrac{V^{2}}{R_{C}}$

Onde $R_{C}$ é o raio de curvatura.

Gabarito 1:

$u=\dfrac{V}{2\sqrt{1-\dfrac{a^{2}}{4R^{2}}}}$

Gabarito 2:

a)

$x(t)=R \cos \left( \dfrac{\alpha t^{2}}{2} \right)$

$V_{x} (t)=-\alpha \, R \, t \sin \left(\dfrac{\alpha t^{2}}{2} \right)$

b)

$a(t)=\alpha R \sqrt{1+ \alpha^{2} t^{4} }$

Gabarito 3:

$D=\dfrac{V_{0}^{2} \sin \left( 2 \theta \right)}{g \left(1-e \right)}$

Gabarito 4:

$R_{C}=-\dfrac{1}{2a}$

 

Nível 3:

Problema 1:

No planeta $X$ a gravidade age de uma maneira muito estranha. Ao invés de apontar para baixo, de maneira contrária ao eixo $y$, a gravidade faz um ângulo de $45^{\circ}$ com esse eixo, tendo então uma componente de mesma direção e sentido que o eixo $x$. Encontre uma equação que relaciona somente as duas coordenadas ($y$ e $x$) de uma partícula lançada obliquamente nesse planeta com uma velocidade $V_{0}$ fazendo um ângulo $\theta_{0}$ com o eixo $x$ a partir da origem desses eixos. Use $g$ como o valor da gravidade.

Problema 2:

É conhecido o fato de que o alcance máximo de um projétil quando lançado sob um plano horizontal é obtido para $\theta=45^{\circ}$. O problema torna-se um pouco mais complicado quando o plano não é horizontal. Suponha que você vá lançar um projétil em uma superfície que está inclinada para cima por um ângulo $\beta$ com a horizontal. Encontre:

a) O alcance ao longo da superfície em função do ângulo de lançamento com a horizontal.

b) O ângulo de lançamento que maximiza esse alcance.

c) Verifique se as fórmulas do item anterior funcionam corretamente para $\beta=0$

OBS: Note que $\theta$ e $\beta$ estão no primeiro quadrante.

Problema 3:

Um objeto é solto do repouso à uma altura $h$ do solo, contudo, à uma altura $y$ do solo encontra uma superfície inclinada de $45^{\circ}$, conforme na figura abaixo. Após a colisão, o objeto sai com mesma velocidade que antes, porém horizontal. Encontre o alcance máximo horizontal do objeto e a altura $y$ necessária para obter esse alcance. Desconsidere a possibilidade do objeto colidir uma segunda vez com a superfície inclinada.

Problema 4:

Um rio possui correnteza com velocidade de $4$ $\dfrac{m}{s}$ e largura de $3$ $m$. Um remador possui a capacidade de remar de maneira que obtém uma velocidade de $3$ $\dfrac{m}{s}$ relativa ao rio. Encontre:

a) O tempo mínimo que o remador leva para atravessar o rio.

b) O tempo que o remador leva para atravessar o rio quando quer se deslocar o mínimo possível ao longo da margem.

Dica 1:

Mude seu sistema de coordenadas para dois eixos que sejam tais que a gravidade atue em somente um deles, então, volte para os eixos $x$ e $y$.

Dica 2:

Ao longo da resolução, provavelmente se deparará com o problema de maximizar uma função do seguinte tipo:

$f \left( \theta \right) = a \cos \left( \theta \right) + b \sin \left( \theta \right)$

Você pode chegar no resultado então a partir de cálculo diferencial, contudo, outra possibilidade é procurar deixar essa função no formato:

$f(\theta)=R \cos \left( \theta - \phi \right)$

Onde pode ser trivialmente maximizada.

Dica 3:

Provavelmente terá que maximizar uma função do tipo:

$f(x)=\sqrt{ x \left(a-x \right) }$

Isso pode ser feito com cálculo diferencial, contudo, é mais facilmente resolvível utilizando a desigualdade das médias:

$M.A. \geq M.G.$

Dica 4:

Pensar vetorialmente nessa questão facilitará seu trabalho.

Gabarito 1:

$y-x=\left(x+y \right) \tan \left( \theta_{0}-\dfrac{\pi}{4} \right) -\dfrac{\sqrt{2} g \left(x+y \right)^{2}}{4 V_{0}^{2} \cos^{2} \left(\theta_{0}-\dfrac{\pi}{4} \right)}$

Gabarito 2:

a)

$A=\dfrac{2V_{0}^{2}}{g} \left( \sin \left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) - \cos^{2} \left( \theta \right) \tan \left( \beta \right) \right) \sec \left( \beta \right)$

 b)

$\theta= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} + \beta \right)$

c)

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$

e

$A=\dfrac{V_{0}^{2} \sin \left( 2 \theta \right)}{g}$

Gabarito 3:

$y=\dfrac{h}{2}$

e

$A=h$

Gabarito 4:

a) $t=1$ $s$

b) $t=\dfrac{4 \sqrt{5}}{5}$ $s$