Revisão de Mecânica

Essa lista de exercícios tem como propósito auxiliar o leitor com problemas relacionados. É importante notar que essa lista é destinada principalmente para alunos do Nível 2 e que já possuem certa prática com o conteúdo, sendo assim, os problemas aqui seriam considerados difíceis mesmo na prova da terceira fase da OBF. Os problemas são ordenados de acordo com sua dificuldade: quanto mais asteriscos, mais difícil o problema é considerado.

1 Oscilações na corda *

A frequência de oscilação de uma corda depende do seu comprimento $L$ , a tensão $T$ e a densidade linear de massa $\rho$ . Usando análise dimensional, ache essa dependência.

Gabarito

$\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}$

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2 Ponte de suspensão **

Uma cabo flexível sem massa em uma ponte de suspensão é submetido a uma carga uniforme ao longo do eixo $x$ . O peso por unidade de comprimento da carga é $w$ e a tensão do cabo em $x=0$ é $T_0$ . Ache $T(x)$ no equilíbrio.

Gabarito

$T_0\sqrt{1+\left(\dfrac{wx}{T_0}\right)^2}$

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3 Número de voltas *

Um cilindro uniforme de raio $R$ é girado sobre seu eixo à velocidade angular $w_0$ e é, então, colocado num canto. O coeficiente de atrito entre as paredes do canto e o cilindro é igual a $k$ . Quantas voltas o cilindro irá realizar até parar?

Gabarito

$\dfrac{(1+k^2){\omega}_0^2R}{8{\pi}k(k+1)g}$

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4 Joaninha **

Uma haste leve está em equilíbrio com uma ponta em parede vertical e a outra no solo. Uma joaninha deseja ir do topo da haste até o solo. Qual a aceleração da joaninha em função da distância $x$ ? Sua massa é $m$ , o comprimento da haste é $l$ , o ângulo entre a haste e o solo é $\alpha$ e a massa da haste é desprezível. Tanto o solo quanto a parede são completamente lisos. Quanto tempo dura essa viagem?

Gabarito

$a(x)=g\dfrac{\left(1-\dfrac{x}{l}\right)}{sin{\alpha}}$

$t=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{l\sin{\alpha}}{g}}$

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5 Velocidade inicial **

A seguinte fotografia mostra duas bolas que foram lançadas simultaneamente com a mesma velocidade, mas em diferentes direções do ponto $P$ . Qual é essa velocidade? Use $g=9,8 m/s^2$ e observe a escala fornecida.

Gabarito

$20 m/s$

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6 Lei de snell **

Cornelius mora na costa $OP$ de uma baía $MOP$ . Duas costas da baía fazem um ângulo $\alpha$ . A casa dele está localizada a uma distância $h$ da costa e $\sqrt{h^2+l^2}$ do ponto $O$ . Ele deseja pescar na costa $OM$ . Em qual posição $x$ a posição de pesca deve se localizar para que Corneluis leve o menor tempo possível na sua viagem até esse ponto partindo de sua casa? Qual é esse tempo mínimo? Cornelius move-se com velocidade $v$ no solo e com velocidade $u<v$ usando sua balsa.

Gabarito

Defina $\beta$ mediante;

$\sin{\beta}=\dfrac{v\sin{\alpha}}{u}$

Para $\tan{\beta}\le{\dfrac{l}{h}}$ :

$x=\cos{\alpha}\left(l-h\tan{\beta}\right)$

$\dfrac{h\cos{\beta}}{v}+\dfrac{l\sin{\alpha}}{u}$

Caso a condição acima não for respeitada:

$x=0$

$t=\dfrac{\sqrt{l^2+h^2}}{v}$

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7 Distância máxima *

Uma partícula se move a partir da origem com velocidade dada pelo gráfico abaixo. Qual a sua distância máxima até a origem?

Gabarito

$18,75 m$

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8 Corrente na esfera **

Uma corrente uniforme de comprimento $L$ está suspensa pelo seu topo em uma superfície esférica de raio $R$ , onde $L<{{\pi}R/2}$ . Então, o topo da corrente é liberado.

a) Qual o valor da aceleração da corrente?

b) Em qual ponto da corrente a tração é máxima logo após o início do movimento?

Considere o caso especial em que $L={\pi}R/3$

Gabarito

$a=\dfrac{3}{2{\pi}}g$

b) Aproximadamente no meio da corrente.

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9 Sem deslizar ***

Uma longa prancha de massa $m_1$ está em repouso em uma mesa horizontal. Um bloco de massa $m_2$ é colocado na ponta diretira da prancha. O último é preso à parede por uma mola de constante elástica $k$ , não deformada inicialmente. Um peso de massa $M$ é conectado à prancha através de um fio inextensível e uma polia. Inicialmente, o sistema está em repouso. Há atrito entre o bloco e a prancha. O comprimento da prancha e a distância inicial entre a polia e a prancha são grandes o suficiente.

a) Qual a distância $L$ que o bloco vai andar até o momento que começa a deslizar na prancha?

b) Estude como essa distância depende no coeficiente de atrito $\mu$ .

c) Calcule o tempo em que o bloco irá andar essa distância $L$ .

Gabarito

Observe abaixo a dependência entre $L$ e $\mu$ :

Onde

${\mu}_{min}=\dfrac{M}{M+m_1+m_2}$

${\mu}_0=\dfrac{M(m_2+2M+2m_1)}{m_2(M+m_1+m_2)}$

O tempo requerido é

$t=\sqrt{\dfrac{(M+m_1+m_2)}{K}}cos^{-1}(1-LK/Mg)$

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10 Corda massiva **

Um peso é mantido em repouso por meio de uma corda massiva uniforme, uma polia móvel de raio $R$ , e uma polia fixa. A massa da corda é $m$ , seu comprimento é $l$ , e a massa total da polia móvel e do peso é $M$ . As distâncias verticais $H_1$ e $H_2$ são conhecidas.

a) Determine a tração na corda no ponto $B$ .

b) Determine a força $F$ aplicada na corda no ponto $K$ . Despreze o atrito no eixo da polia.

Gabarito

$\dfrac{Mg}{2}+\dfrac{{\pi}Rmg}{2l}$

$F=\dfrac{Mg}{2}+\dfrac{{\pi}Rmg}{2l}-\dfrac{mgH_1}{l}$

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11 Disco amarrado ***

Um cilindro vertical de raio $R$ é fixado em um plano horizontal. Um fio inextensível de comprimento $L$ é preso no cilindro, inicialmente o fio é tangente ao cilindro. Um pequeno disco é preso na outra ponta do fio. É fornecido uma velocidade $v_0$ perpendcular ao fio ao disco.

a) Quanto tempo irá durar o movimento do disco (enrolamento completo no cilindro) se não há atrito?

b) Considere agora que o coeficiente de atrito entre o disco e o plano horizontal é $\mu$ . Determine o novo tempo.

Gabarito

$\dfrac{L^2}{2Rv_{0}}$

b) Se $v_0\leq{L\sqrt{\dfrac{{\mu}g}{R}}}$ , então:

$t=\dfrac{v_0}{{\mu}g}$

Se $v_0\geq{L\sqrt{\dfrac{{\mu}g}{R}}}$ , então:

$t=\dfrac{v_0}{{\mu}g}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{{\mu}gL^2}{Rv_0^2}}\right)$

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12 Foguete defeituoso ****

Um foguete viajando a velocidade constante $v$ gera um som de frequência constante $f_0$ . Um cientista usa sensores para registrar esse som. A velocidade do som é $c=330 m/s$ .

a) Qual frequência será detectada por um sensor se o foguete se aproxima diretamente ao mesmo? Qual frequência será registrada por um sensor muito distante de um foguete se o ângulo entre a velocidade do foguete e a direção do sensor é $\phi$ .

b) Durante sua pesquisa, o cientista acidentalmente lançou um foguete defeituoso que começou a voar em círculo de raio $r$ numa pequena altura acima do solo com a mesma velocidade $v$ . O cientista percebeu uma dependência temporal da frequência registrada pelos sensores 1 e 2, de acordo com o gráfico abaixo. Qual a distância $L$ entre os sensores?

Gabarito

$f=\dfrac{f_0}{1-(v/c)\cos{\phi}}$

$L=478 m$

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