Escrita por Paulo Henrique

 

Lista de Ondas e Oscilações

Essa lista de exercícios foi criada com o intuito de melhorar sua capacidade na resolução de problemas relacionados. Os problemas foram separados por nível: do mais fácil (*), ao mais difícil (***). O problema de 4 estrelas é um desafio e pode ser ignorado em um primeiro momento (recomendado para estudantes da seletiva de física). Os gabaritos das questões estão todos abaixo dos respectivos enunciados.

Parede Rígida *

Considere que uma onda da forma

$$\psi=g(x-vt)$$

se propaga na direção $+x$. Uma parede rígida é colocada em $x=x_0$. Descreva o movimento da onda para $x<x_0$

Fonte acelerada **

Uma fonte de oscilações sônicas, com frequência $v_0=1700 Hz$, e um receptor estão localizados no mesmo ponto. No instante $t=0$, a fonte começa a recuar do receptor, com aceleração constante $w=10,0 m/s^2$. Considerando que a velocidade do som seja igual a $v=340 m/s$, encontre a frequência de oscilação registrada pelo receptor estacionário $t=10,0 s$ após o início do movimento.

Tem efeito doppler? *

Um fonte sonora, com frequência natural $v_0=1,8 kHz$, move-se uniformemente ao longo de uma linha reta, separada de um observador estacionário por uma distância $l=250 m$. A velocidade da fonte é igual à fração $\eta=0,4$ da velocidade do som. Encontre a frequência de som recebida pelo observador no instante quando a fonte fica mais próxima dele.

Distância percorrida em um M.H.S. **

Uma partícula move-se ao longo do eixo $x$ de acordo com a lei $x={\lambda}\cos{{\omega}t}$. Encontre a distância que ela percorre durante o intervalo de tempo de $t=0$ até $t$.

Posição da fonte *

Encontre o vetor posição que define a posição de um ponto de origem de ondas esféricas, sabendo-se que essa origem está localizada sobre a linha reta entre os pontos com vetores radiais $\vec{r_1}$ e $\vec{r_2}$, nos quais as amplitudes de oscilação das partículas do meio são iguais a $a_1$ e $a_2$. O amortecimento da onda é desprezível e o meio é homogêneo.

Interferência tripla **

Considere que em um ponto do espaço exista, simultaneamente, as três ondas a seguir:

$${\psi}_1={\psi}_0\sin\left(kx-{\omega}t \right)$$

$${\psi}_2=3{\sqrt{2}}{\psi}_0\sin \left(kx-{\omega}t+\theta \right)$$

$${\psi}_3=4{\psi}_0\cos \left(kx-{\omega}t \right)$$

Determine o valor de $\theta$ (entre $0$ e ${\pi}/2$) se a diferença de fase entre a onda resultante e a primeira vale ${\pi}/4$

Batimendo em colunas de ar *

Uma coluna de ar a $51$ $^{\circ}C$ e um diapasão produzem $4$ batimentos por segundo quando soam juntos. A medida que a temperatura da coluna de ar diminui, o número de batimentos por segundo tende a diminuir e quando a temperatura é de $16$ $^{\circ}C$, os dois produzem um batimento por segundo. Encontre a frequência do diapasão.

Transmissão sonora na superfície do mar ***

Numa região que o oceano tem profundidade constante igual a $h$, uma fonte de ondas sonoras emite numa frequência $f$. Suponha que a frequência seja tão alta que as ondas sonoras podem ser tratadas como raios, e o índice de refração da água para ondas sonoras seja $n$. Seja $c$ a velocidade do som no ar. A fonte está se movendo com velocidade $v<c$ em direção a um observador estacionário que está a uma distância $D$, ambos localizados um pouco acima da superfície do oceano (Veja a figura abaixo). Assuma também que a velocidade é tão baixa que $\dfrac{D}{\tau}\gg{v}$, onde $\tau\gg{\dfrac{1}{f}}$ é o tempo de observação. Considere reflexões somente do chão do oceano. Ache a frequência de batimento instantânea.

Várias molas **

Um escalador tem que passar a noite no lado vertical de uma montanha alta. Para isso (veja a figura abaixo), ele se amarra em 4 pontos da rocha através de suas molas incrivelmente flexíveis. As massas das molas, assim como seus comprimentos naturais, são desprezíveis. O escalador é considerado como um ponto material de massa $m=70 kg$. Determine o período de oscilação do escalador, se ele é posto a oscilar a partir de sua posição de equilíbrio. As constantes elásticas são: $k_1=150 N/m$, $k_2=250 N/m$, $k_3=300 N/m$, e $k_4=300 N/m$.

Saindo da haste ***

Uma pérola lisa roscada em uma haste vertical lisa, que é presa ao chão por um pivô em sua base. A pérola está em repouso sobre um disco circular que está fixado à haste a uma distância $d$ do pivô. A haste começa a realizar um M.H.S. em torno de sua posição original com amplitude angular ${\theta}_0$. Qual a frequência necessária para que a pérola saia da haste?

 

Invariante adiabático ***

Considere um sistema com uma parâmetro característico $\lambda$. Suponha que esse mesmo parâmetro seja variado lentamente ("adiabaticamente") via agentes externos. Agora, seja $I$ uma determinada grandeza mecânica. Por hipótese, é necessário um tempo $T$ para que $\lambda$ mude apreciavelmente. Dizemos que $I$ é um invariante adiabático se $T\gg{\tau}$ onde $\tau$ é o intervalo de tempo característico do sistema, ou seja, um intervalo da ordem de grandeza dos que lidamos quando analisamos o sistema. Por exemplo, considere um pêndulo simples de comprimento $l$ e que $\lambda=l$, em outras palavras, $l$ é variado adiabaticamente (pode-se fazer isso puxando o fio lentamente através de um buraco no ponto de suporte). Neste caso, $T$ deve ser muito maior que $t=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, o período do pêndulo. Nessa condição, é dito que o pêndulo está sofrendo uma transformação adiabática. É possível mostrar que, numa transformação adiabática, se $p$ é o momento linear de uma partícula e $x$ é sua posição:

$$\sum p(x)\Delta{x}=I$$

Ou seja, a área sob o gráfico no espaço de fase (gráfico de $p(x)$ versus $x$) em um período é uma constante. Essa constante é chamada de invariante adiabático. Agora, considere uma partícula que realiza um M.H.S. presa a uma mola no regime de Hooke. A amplitude inicial é $A_1$ e a constante elástica $k_1$. Sabe-se que a constante elástica da mola é variada adiabaticamente até que a mesma atinga a constante elástica $k_2$, determine a nova amplitude.

Batimento de violinos **

O fenômeno clássico do batimento acústico é originado quando duas ondas sonoras de frequências próximas interferem. Uma situação comum onde poderíamos observar tal fenômeno seria com dois instrumentos musicais com afinações ligeiramente diferentes tentando tocar a mesma nota. Nesta questão vamos analisar este efeito em termos de três ondas sonoras. Suponha que três violinos estejam ajustados para tocar o Lá fundamental ($110$ $Hz$), mas que por um descuido dos violinistas, o primeiro deles emite um som a $109$ $Hz$ e o terceiro a $111 Hz$. O segundo é o único que emite o som na frequência desejada. Na situação em que os três músicos estão tocando seus instrumentos com a mesma amplitude de pressão $P_0$, a percepção auditiva é de um batimento de maior amplitude intercalado com outro de menos amplitude. Qual a razão entre a maior e a menos dessas amplitudes? O intervalo de tempo entre os instantes em que a plateia ficará sem escutar som algum não é mais constante, mas alternado entre um intervalo maior e um menor. Qual a razão entre a duração desses intervalos? O problema é unidimensional.

Onda esférica por conservação de energia **

Uma forma muito importante de onda é a onda esférica:

$${\psi}(r,t)=\dfrac{1}{r}f(r-ct)$$

Onde $c$ é a velocidade da onda, $r$ é a distância até a fonte pontual e $t$ é o tempo desde a emissão. Essa onda representa uma pertubação viajando rigidamente para fora. Nessa questão você deve provar o porquê do fator $1/r$ na equação acima. Sabe-se que a intensidade de uma onda é definida como a potência liberada pela onda para uma área unitária perpendicular à direção de propagação. Usando o fato que a energia simplesmente não pode acumular em uma região (continuidade), mostre a dependência $1/r$.

Equação da frente de onda *

Uma fonte pontual de som está se movendo uniformemente ao longo da direção $x$ positiva com velocidade $v_0$. No tempo $t=0$ a fonte estava na origem e emitiu um pulso de compressão $C_1$. Após um tempo $T$, emitiu outro pulso $C_2$. Escreva a equação da frente de onda representando o pulso de compressão $C_2$ no tempo $t$. A velocidade do som é $v$.

Gafanhoto na corda *

Um gafanhoto de massa $m$ está tranquilamente em repouso sobre uma corda esticada horizontalmente. A corda possui uma densidade linear $\mu$ e está sob tensão $F$. Sem avisar, Cornellius produz uma onda transversal senoidal com um comprimento de onda igual a $\lambda$ que se propaga na corda. Qual a amplitude mínima da onda que faz o gafanhoto ficar repentinamente com um peso aparente igual a zero? Suponha de a massa $m$ seja tão pequena que a presença desta não altere a propagação da onda.

Caso geral ****

Suponha que você envia uma onda de formato específico, $g_I(z-v_1t)$, por uma corda de número 1. Esta está conectada no ponto $O$ a outra corda (número 2). Isso faz surgir uma onda refletida, $h_R(z+v_1t)$, e uma onda transmitida, $g_T(z-v_2t)$. Encontre $h_R$ e $g_T$.

Estrondo sônico*

Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2 (o dobro da velocidade do som). Qual o ângulo de abertura do cone de Mach? $2,5 s$ depois de o avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque causada pela sua passagem atinge a casa, provocando um estrondo sônico. A velocidade do som no ar é $V=340 m/s$. Qual é a altitude do avião em relação à casa?

Três modos de vibração*

Uma corda de comprimento $l$ está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extremidade livre. Ache as frequências dos modos normais de vibração da corda. Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem de frequência crescente). A velocidade de ondas na corda é $v$.

Onda esférica por conta ****

Considere uma onda esférica que se propaga com velocidade $c$. Determine sua forma geral.