Física - Semana 107

Escrito por Ualype Uchôa

Iniciante:

Utilizando um modelo simples, você irá estimar a densidade de uma melancia, baseando-se na Figura 1. Considere que a melancia é uma esfera homogênea e negligencie a refração e efeitos tridimensionais.

 

Figura 1: Melancia flutuando na água dentro de um balde.

a) Determine o volume da parte melancia que se encontra imersa na água, em função de seu raio $r$ e do parâmetro $q=\dfrac{r_0}{r}$, onde $r_0$ é o raio do círculo que demarca a intersecção da fruta com a superfície da água.

b) Determine a densidade da melancia, $\rho$, em função de $q$ e $\rho_0$, a densidade da água.

c) (EDIT) A partir de medições com uma régua na figura 1, você deve ser capaz de estimar o valor de $q$. Feito isso, estime o valor numérico de $\rho$, sabendo que a densidade da água vale $1,00$ $kg/m^3$.

OBS.: Você pode precisar das seguintes informações:

Volume de uma calota esférica: $V_{calota} = \dfrac{\pi h}{6}(3r^2+h^2)$.

 

Figura 2: Calota esférica.

Volume de uma esfera: $V_{esfera}= \dfrac{4}{3} \pi R^3$, onde $R$ é seu raio.

Intermediário:

Duas esferas $A$ e $B$, de massas $M$ e $3M$, respectivamente, encontram-se isoladas no universo. A figura abaixo mostra a configuração inicial do sistema. Determine a distância entre as esferas quando a velocidade de $A$ for $4v$ para a direita, sabendo que elas ainda não terão colidido até esse momento. P.S.: $G$ é a constante gravitacional universal.

Figura 3: Esferas movendo-se isoladas no universo.

Avançado:

Suponha que haja duas cascas esféricas concêntricas de raios $a$ e $b$, tal que $a<b$, estando ambas as cascas aterradas. Nesse problema, estudaremos o valor das cargas induzidas $q_{a}$ e $q_{b}$ que aparecem nas duas cascas esféricas quando coloca-se uma carga pontual $q$ à uma distância $r$ tal que $b>r>a$ do centro das cascas. Duas abordagens serão realizadas durante o problema, por isso, o dividiremos em duas partes.

Figura 4: Cascas esféricas aterradas concêntricas com uma carga $q$ no interior.

Parte A:

A.1) Escreva a condição de aterramento para as duas cascas em função $q$, $q_{a}$, $q_{b}$, $a$, $b$ e $r$. Você deve obter um sistema de duas equações.

A.2) Resolva o sistema do item anterior para obter $q_{a}$ e $q_{b}$.

Parte B:

Definiremos aqui $q'_{1}$ e $r'_{1}$ como o valor da carga imagem na casca de raio $a$ devido à presença da carga $q$ e a distância dessa carga ao centro das cascas esféricas e analogamente definimos os valores de $q''_{1}$ e $r''_{1}$ para a casca de raio $b$. Note que uma carga imagem aqui é definida de tal forma que ao olhar somente para o par objeto-imagem o valor do potencial da casca esférica em questão estará zerado. Esse método conhecido como método das imagens é interessante pois se garantirmos que nossas superfícies estejam aterradas podemos calcular o valor do potencial elétrico em qualquer posição do espaço!

$B.1)$ Calcule através da definição os valores de $q'_{1}$, $r'_{1}$, $q''_{1}$ e $q''_{1}$.

Note contudo que se analisarmos nosso sistema como um todo as cascas esféricas não estão aterradas, pois $q'_{1}$ gera um potencial na casca esférica de raio $b$ e vice-versa, sendo assim, é necessário criar uma carga imagem $q''_{2}$ para compensar esse efeito na casca $b$ e uma carga imagem $q'_{2}$ para anular o efeito de $q''_{1}$ na casca $a$, contudo, essas novas cargas também apresentarão esse problema e devemos repetir esse processo infinitamente.

$B.2)$ Generalizando as definições acima, encontre $4$ equações que relacionem $q'_{i}$, $r'_{i}$, $q''_{i}$, $r''_{i}$ com os seus valores para $i-1$, note que aqui $i$ é um número inteiro maior que $1$.

$B.3)$ A partir das equações do item anterior, encontre uma relação entre:

$B.3.1)$ $q'_{i}$ e $q'_{i-2}$

$B.3.2)$ $q''_{i}$ e $q''_{i-2}$

$B.4)$ A partir dos valores de $q'_{0}$, $q''_{0}$, $q'_{1}$ e $q''_{1}$ encontre a fórmula geral para $q'_{i}$ e $q''_{i}$. Dica: Nesse item, é possível proceder de duas formas, resolvendo diretamente as equações de recorrência de segunda ordem ou encontrando a fórmula para $i$ par e $i$ ímpar ao resolver duas equações de recorrência de primeira ordem.

$B.5)$ É possível mostrar que a soma dos valores das cargas imagens dentro de uma casca serão iguais a carga induzida em sua superfície, demonstre isso.

$B.6)$ A partir das expressões encontradas no item $B.4$ e do resultado do item $B.5$ encontre o valor das cargas induzidas em ambas as superfícies e compare com o resultado da parte $A$.