Física - Semana 111

Iniciante

Uma cunha de massa $M$ está sobre o chão liso. Um bloco de massa $m$ é liberado do repouso em cima da cunha de ângulo $\alpha$. Determine a aceleração da cunha.

Intermediário

Parte A

Equação de Binet

Nesse problema, iremos analisar a física por trás de uma situação inusitada. A primeira parte serve para deduzir uma importante equação que será utilizada não só na parte B desse problema, mas em vários outros problemas de forças centrais.

Considere o movimento de uma partícula de massa $m$ sob ação de uma força central. Uma força central é qualquer força do tipo

$$\vec{F}=\lambda(r)\dfrac{\vec{r}}{r}$$

Ou seja, é uma força cujo módulo só depende da distância à origem (centro de força) e sua direção é sempre radial (aponta para a origem).

a) Mostre que o momento angular da partícula (vetor) é conservado durante todo o movimento. Mostre também que seu módulo é dado por:

$$l=mr^2\dot{\theta}$$

Onde $r$ e $\theta$ são definidos no parágrafo abaixo.

Como o momento angular $\vec{L}$ é conservado, o movimento da partícula se dá em um plano, caso não fosse, o vetor momento angular mudaria de direção, contrariando o fato que o mesmo é constante. Sendo assim, todo o movimento pode ser descrito por meio de duas coordenadas. Escolhamos essas coordenadas como sendo $r$ e $\theta$, respectivamente a distância à origem e o ângulo entre o vetor posição da partícula e uma direção arbitrária (esta pode ser escolhida convenientemente). Agora, considere a quantidade $1/r\equiv{u}$. A famosa equação de Binet, que queremos demonstrar aqui, é uma equação diferencial de segunda ordem relacionando $u$, $\theta$ e a força central em questão $\lambda(r)$.

b) Partindo da definição de $u$, e utilizando $l$ para eliminar o tempo, deduza a equação de Binet:

$$\dfrac{d^2u}{d{\theta}^2}+u=-\dfrac{m}{u^2l^2}\lambda(r)$$

c) Para uma força central que obedece a lei da gravitação universal, qual é a forma geral $r(\theta)$?

Parte B

Galáxia muito distante

Numa galáxia muito distante daqui, existe um sistema solar semelhante ao nosso. Algumas diferenças do movimento dos plantetas em torno do Sol são notáveis. É sabido que as trajetórias dos planetas são elípticas com o sol ocupando o centro da elipse e que o período de todos os planetas são iguais (independente dos parâmetros da elipse). Certamente a força de atração entre os corpos não obedece a lei da gravitação universal. Aqui, procuremos obter a exata forma dessa força.

d) A segunda lei de Kepler é válida nessa galáxia? Justifique.

Considere a trajetória de um planeta nesse sistema solar. Seja $\epsilon$ a excentricidade da elipse e $b$ o semi-eixo menor.

e) Partindo da definição da elipse e usando a lei dos cossenos, mostre que:

$$r(\theta)=\dfrac{b}{\sqrt{1-{\epsilon}^2\cos^2{\theta}}}$$

Onde $\theta=0$ corresponde a posição de maior afastamento.

f) Usando os resultados da parte A, mostre que, nessa galáxia, a "lei da gravitação universal" é:

$$\lambda(r)=-\dfrac{l^2\left(1-{\epsilon}^2\right)}{mb^4}r$$

A priori, o resultado acima pode parecer estranho: como que a lei da força depende dos parâmetros das trajetórias dos planetas? Certamente, isso não é possível. Observe que nossa expressão para $\lambda(r)$ foi escrita em termos do momento angular, o mesmo depende dos paramêtros da elipse.

g) Eliminando o momento angular da expressão para a força, mostre que a lei da gravitação universal é genuinamente "universal".

Avançado

O problema da reflexão em um espelho relativístico é famoso. Nele, temos que relacionar o ângulo de incidência com o ângulo de reflexão de um feixe incidente em um espelho que se move com velocidade relativística $v$. É possível realizar tal tarefa de pelo menos duas formas, uma forma utiliza o princípio de Huygens e a outra, as transformações de Lorentz. Aqui, tentaremos obter o mesmo resultado utilizando os dois métodos. Como as transformadas de Lorentz é de um assunto avançado, a demonstração por princípio de Huygens já é satisfatória. O problema consiste em um espelho que se move com velocidade ${\kappa}c$. Um feixe incide no espelho com um ângulo $\alpha$ e sai com um ângulo $\beta$. A figura abaixo mostra o espelho em um tempo $t_0$ e em um tempo $t$.

 

a) Aplicando o princípio de Huygens, mostre que:

$$\sin{\alpha}-\sin{\beta}={\kappa}\sin{\phi}\sin({\alpha}+{\beta})$$

b) Agora considere um espelho vertical se movendo para a esquerda com velocidade ${\kappa}c$. Determine $\beta$ em função de $\alpha$ e $\kappa$.

c) Utilizando as transformadas de Lorentz, chegue no resultado anterior. Dica: Considere, como passo intermediário, o referencial de repouso do espelho.