Física - Semana 131

Escrito por Ualype Uchôa

Iniciante

Girando rápido demais

Estrelas de nêutrons são corpos celestes formados por nêutrons que estão gravitacionalmente ligados. Esses objetos giram de forma bastante rápida; no entanto, ainda existe um limiar teórico para a rotação da estrela, de tal forma que sua massa não se desprenda pelo Equador. Mostre então que a máxima frequência de rotação admitida para a estrela é

$f= \sqrt{\dfrac{ G \rho}{3 \pi}}$

considerando um modelo no qual essa estrela é uma esfera com densidade uniforme $\rho = 7,0 * 10^{17}$ $kg/m^3$. Calcule também seu valor numérico nesse caso.

A constante gravitacional universal vale $G= 7,0 * 10^{-11}$ $m^3/kg *s^2$.

Tome $\pi = 3$.

Intermediário

Tchau, Terra

Devido às reações termonucleares no interior do nosso Sol, há uma constante liberação de energia. A famosa "equação de Einstein" expressa a equivalência entre massa e energia, mediante

$\Delta E= \Delta mc^2$,

sendo $\Delta E$ a energia liberada, $\Delta m$ a massa associada à esse processo, e $c$ a velocidade da luz no vácuo. Dessa forma, o sol também perde massa nesse processo, o que ocasiona um aumento (quase imperceptível) no raio orbital da Terra. Determine, então,

$a)$ a quantidade de massa perdida pelo Sol em $1$ segundo, em $kg$.

$b)$ O quanto a Terra se afasta do Sol em um ano! Considere que a órbita da Terra é circular.

Dados:

Raio Orbital da Terra: $R=1,50 * 10^{8}$ $km$.

Período de Translação da Terra: $T=3,16 * 10^{7}$ $s$.

Potência irradiada pelo Sol: $L=3,83 * 10^{26}$ $W$.

Massa do Sol: $M=2,00 * 10^{30}$ $kg$.

Velocidade da Luz no vácuo: $c=3,00*10^5$ $km/s$.

Dica (EDIT): Você pode achar útil usar que

$\left(1+x\right) \left(1+y\right) = 1+x+y$,

para $x, y \ll 1$.

Avançado

Anã Branca

O Princípio da Exclusão de Pauli é responsável por inúmeras propriedades da matéria, tanto pelas que somos mais familiares, e.g. a dureza dos materiais sólidos, como por coisas um pouco mais estranhas, como o comportamento de anãs brancas, que são estrelas bastante densas. Neste problema você é desafiado a obter alguns resultados importantes no estudo dessas estrelas. A matéria em anãs brancas consiste basicamente de elétrons e dos núcleos atômicos, cujos quais são basicamente carbono e oxigênio. Pelo fato de serem neutras a quantidade de prótons e elétrons é a mesma, além disso o número de prótons e nêutrons também é o mesmo devido à composição das estrelas. Neste problema vamos investigar o equilíbrio das anãs brancas que se deve ao resultado tanto da interação gravitacional como da repulsão estatística sofrida pelos férmions (elétrons, prótons e nêutrons) que compõem a estrela.

Parte 1: Energia Cinética da Estrela

Neste problema vamos considerar que as partículas que compõem a estrela são não-relativísticas.

$a)$ Para uma dada partícula de massa $m$ (nêutron, próton ou elétron), escreva sua energia cinética $\epsilon$ como função de sua massa e do seu número de onda $k = 2 \pi/ \lambda$, além de constantes físicas fundamentais, se necessário. Considere agora como modelo da estrela o modelo de uma caixa infinita, i.e. uma caixa cúbica de lado $L$ da qual as partículas não podem escapar. Este modelo é análogo a uma corda presa nas extremidades. Neste modelo, cada partícula só pode possuir valores discretos de número de onda $k$. O numero de onda é dito quantizado, tanto na direção $x$, como nas direções $y$ e $z$.
$b)$ Determine a condição de quantização de $k_x$, $k_y$ e $k_z$ como função de números quânticos $n_x$, $n_y$ e $n_z$ para cada uma das direções.

Como o elétron é a partícula que possui a menor massa, ele é o que mais contribui para a energia cinética total do sistema. Seja $m_e$ a massa do elétron e $m_p$ a massa dos prótons e nêutrons, consideradas idênticas neste problema.

$c)$ Considerando que a massa total da estrela é $M$ e que a massa dos elétrons é muito menor que a dos prótons (e nêutrons), determine o número de elétrons $N$ contidos na estrela.
$d)$ Determine a menor diferença $\Delta k_i$ entre os possíveis valores de $k_i$ $(i = x, y, z)$.

É possível atribuir a cada elétron um cubo de lado $\Delta k_i$, calculado no item anterior, no espaço do número de onda. Isso significa que um elétron com número de onda $\vec{k}=k_x \hat{x} + k_y \hat{y} + k_z \hat{z}$ ocupa um cubo de lados $\Delta k_i$ na posição $\vec{k}$, conforme a Figura 1, que ilustra o caso particular de duas dimensões.

A Figura 1 também indica o momento de Fermi, que é o número de onda (momento) do elétron mais energético.

Figura 1: Representação do espaço de número de onda (momento) em duas dimensões. No esquema mostrado o quadrado indica a região que comporta dois elétrons devido ao Princípio da Exclusão de Pauli.

$e)$ Supondo que todos os cubos sejam preenchidos desde zero até o momento de Fermi $k_F$ com no máximo dois elétrons por cubo, determine o valor do momento de Fermi $k_F$ em função da densidade $n=N/L^3=N/V$ de elétrons no sistema. Considere que o comprimento $L$ é muito grande, e leve em conta que apenas valores positivos de $k_i$ $(i = x, y, z)$ são permitidos.

$f)$ Determine a energia cinética total dos elétrons como função do momento de Fermi e do número de elétrons na estrela.

$g)$ Usando o resultado do item prévio, expresse a energia cinética total dos componentes da estrela como função de sua massa $M$ e raio $R$. Para tanto, considere que o volume $V$ agora corresponde ao volume da estrela esférica.

Parte 2: Energia Potencial

Considere agora que a massa da estrela seja totalmente devida aos prótons e nêutrons. Isso serve para dizer que os elétrons não contribuem com o mecanismo de atração gravitacional interna que a mantém a estrela viva.

$h)$Determine a energia potencial gravitacional da estrela como função de sua massa $M$ e de seu raio $R$.

$i)$ Esboce o gráfico da energia total da estrela como função de seu raio $R$.

$j)$ Qual dos mecanismos (gravidade ou repulsão estatística) é mais importante quando o raio $R$ da estrela é pequeno e quando $R$ é grande?

$k)$ Determine o raio de equilíbrio estável $r_0$ da estrela.

Suponha agora que de alguma maneira seja possível comprimir ligeiramente toda a massa da estrela e diminuir seu raio para $r_0 -\Delta r$, com $\Delta r/r_0 \ll 1$, mantendo a densidade uniforme.

$l)$ A estrela executará oscilações radiais? Caso afirmativo, calcule a frequência angular dessas oscilações.