Física - Semana 159

Escrito por Vitória Bezerra Nunes e Lucas Tavares

Iniciante

Vínculo Geométrico

Encontre as acelerações da haste $A$ e da cunha $B$ no arranjo mostrado na figura, se a razão entre a massa da cunha e da haste é igual a $11$. O atrito entre todas as superfícies de contato é considerado desprezível. Considere $g$ como o valor da aceleração gravitacional local.

 

Intermediário

Uma barra escorregadia forma um ângulo $\alpha$ em relação à horizontal. Um pequeno anel de massa $m$ pode deslizar ao longo da barra, ao qual está preso um longo fio. Uma pequena esfera de massa $M$ está presa ao fio.

Inicialmente, o anel é mantido imóvel e o fio fica pendurado verticalmente.

Então, o anel é liberado. Qual é a aceleração da esfera imediatamente após isso?

Considere $g$ como a aceleração gravitacional local.

Avançado

A fantástica viagem pelo Universo

Uma espaçonave de reconhecimento da civilização bem desenvolvida viaja pelo universo. Nesse problema, você deve considerar algumas situações dessa viagem interestelar do ponto de vista físico. Para todos os cálculos numéricos, considere a constante gravitacional conhecida e igual a $G = 6,672 \times 10^{-11} \, m^{3} \cdot kg \cdot s^2$.

1. Planetas com formatos estranhos

A alguma distância da espaçonave, o capitão da tripulação descobre o primeiro planeta que possui uma estranha forma de um paralelepípedo de base quadrada de lado $a$ e espessura muito pequena $h \ll a$. O capitão dá a ordem de seguir rumo ao centro do planeta conforme a figura abaixo.

Após o desligamento do motor, foi revelado que a aceleração de queda livre da espaçonave proporcionada a distâncias muito maiores que $h$, $g$, permanece proporcional ao sólido ângulo $\Omega$ no qual o planeta é visto da espaçonave, ou seja:

$g = \alpha \Omega$

Depois de pousar na superfície do planeta e colher as amostras do solo, os cientistas relataram ao capitão que o planeta é composto de material homogêneo de densidade $\rho_1 = 3000 \, kg/m^3$ e a aceleração de queda livre perto do centro da superfície geométrica do planeta permanece quase constante e é igual a $g_1 = 9,81 \times 10^{-2} \, m/s^2$.

a) Ache e calcule a espessura do planeta, $h$.

b) Ache e calcule o coeficiente $\alpha$.

Depois de sair desse planeta, o capitão e sua tripulação encontram outro planeta exótico do formato de uma pirâmide regular de base quadrada de lado $a = 10000\, km$ e altura = $a/2$.

c) Ache e calcule a aceleração de queda livre $g_2$ medida no topo do planeta piramidal, se a densidade for  $\rho_2 = 4500 \, kg/m^3$.

A espaçonave deixou o planeta piramidal de seu topo, com a característica velocidade de órbita parabólica $v_1 = 3,45 \, km/s$. O próximo planeta que a espaçonave encontrou em seu caminho é aquele na forma de um cubo uniforme perfeito com o lado $a$. Após medições precisas, o capitão e sua tripulação descobriu que a densidade do planeta cúbico é $\rho_3 = 5000 \, kg/m^3$.

d) Encontre e calcule a velocidade de órbita parabólica $v_2$ em que a espaçonave saia de um dos vértices do planeta cúbico.

2. Nuvem de poeira

A espaçonave encontra uma grande nuvem de poeira massiva de raio $R = 1,50 \times 10^7 \, km$ e de densidade homogênea $\rho_4 = 50,0 \, kg/m^3$ . A velocidade da espaçonave a uma grande distância da nuvem atinge o valor de $v_{\infty } = 100 \, km/s$, e o parâmetro de impacto medido do centro da nuvem é igual a $b = 1,50 \times 10^8 \, km$. O motor permanece desligado.

e) Ache e calcule as coordenadas da espaçonave dentro da nuvem de poeira, caracterizada pelo ângulo $\theta$.

f) Encontre e calcule a distância mínima $r_{min}$ da espaçonave ao centro da nuvem. Resistência ao movimento da espaçonave causada pelas partículas da nuvem pode ser desprezada.

Certificando-se de que é impossível evitar uma colisão com a nuvem, o capitão da nave espacial toma a decisão de ligar o motor, aumentando assim a velocidade $v_{\infty}$.

g) Ache e calcule a velocidade mínima $v_{\infty , min}$ para que a espaçonave passe com segurança da nuvem de poeira.

Passando com sucesso o obstáculo, o capitão e sua tripulação descobriram que o as partículas das nuvens de poeira contêm elementos valiosos.

h) Encontre o trabalho mínimo $W$, que deve ser realizado para gradualmente trazer todas as partículas de poeira para uma estação de processamento muito remota.