Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante:
Cinemática
t=1√1−v2c2t0.
Intermediário:
Dinâmica do Corpo Rígido
a) Pelo teorema dos eixos paralelos, temos:
IO=ICM+mr2,
onde r é a distância relativa do CM até o ponto em torno do qual desejamos calcular o momento de inércia. Logo:
IO=112Md2+M(d2−d4)2,
IO=748Md2.
b) i) Como o pino O é ideal, não existem forças dissipativas atuando no sistema. Logo, aplicando a conservação da energia mecânica:
Emecinicial=Emecfinal.
Inicialmente, ω=0, logo, não havia energia cinética. Considerando o nível de referência no nível vertical que passa pela barra, a energia potencial gravitacional inicial também é nula. Ao girar de θ, a barra possuirá energia cinética rotacional (note que esta não terá energia cinética translacional, pois, em relação ao ponto O, ela não translada) e potencial. Equacionando:
0=12IOω2−Mgd4sinθ,
Mgd2sinθ=748Md2ω2,
ω=√247gdsinθ.
ii) Para o cálculo da aceleração angular, podemos utilizar o equivalente da Segunda Lei de Newton para rotações:
τO=IOα,
onde os subscritos demandam que o tanto o torque como o momento de inércia sejam em relação ao mesmo ponto; neste caso, escolhemos o ponto O, pois ele é não acelerado, e qualquer reação que o pino produzir na barra possuirá torque nulo. Então, apenas o peso produz torque:
Mgd4cosθ=748Md2α,
α=127gdcosθ.
a) IO=748Md2.
b) ω=√247gdsinθ e α=127gdcosθ.
Avançado:
Dinâmica Relativística
Sabemos que, em uma colisão relativística, tanto o momento linear como a energia total sempre se conservam. Chame de p0 o módulo do momento da partícula incidente antes da colisão, e p1 e p2 o módulo dos momentos das partículas espalhadas. Aplicando a conservação do momento na vertical:
p1sinθ=p2sinθ,
p1=p2.
Na horizontal:
p0=p1cosθ+p2cosθ,
Logo:
p0=2p1cosθ.
Será útil escrever a energia na forma "pitagórica", E=√(pc)2+(mc2)2. Para a partícula incidente, o termo (p0c)2=E2−(m0c2)2. Elevando a equação acima ao quadrado, e multiplicando por c2:
(p0c)2=4p21(cosθ)2c2,
Substituindo (p0c)2:
4(p1c)2=E2−(m0c2)2cos2θ.
Guardemos tal resultado, pois se mostrará útil futuramente.
Agora, conservaremos a energia total do sistema, utilizando novamente a forma "pitagórica" para a energia total de um corpo:
Eantes=Edepois,
E+m0c2=E1+E2=√(p1c)2+(m0c2)2+√(p2c)2+(m0c2)2.
Como p1=p2:
E+m0c2=2√(p1c)2+(m0c)2.
Elevando ambos os membros ao quadrado:
E2+2Em0c2+(m0c2)2=4(p1c)2+4(m0c2)2.
Substituindo o termo 4(p1c)2 pela expressão previamente encontrada, e isolando cosθ:
E2+2Em0c2=E2−(m0c2)2cos2θ+3(m0c2)2,
cos2θ=E2−(m0c2)2E2+2Em0c2−3(m0c2)2.
Perceba que podemos executar uma fatoração no denominador:
E2+2Em0c2−3(m0c2)2=(E+3m0c2)(E−m0c2).
Com isso, podemos chegar na expressão pedida:
cosθ=√(E+m0c2)(E−m0c2)(E+3m0c2)(E−m0c2)
cosθ=√E+m0c2E+3m0c2
Demonstração.