Soluções Física - Semana 110

Cinemática

Suponha que o encontro aconteça a uma distância $x$ do ponto da estrada mais próximo da posição inicial do menino. Seja $u=\sqrt{{\lambda}}v$ a velocidade do menino. Igualando os tempos do menino e do carrinho:

$$\dfrac{a+x}{v}=\dfrac{\sqrt{b^2+x^2}}{u}$$

Reorganizando, chegamos a uma equação quadrática em $x$:

$$x^2(1-\lambda)-2a{\lambda}x+b^2-a^2\lambda=0$$

Queremos que o encontro aconteça, portanto, o $\Delta$ deve ser maior ou igual a zero. Impondo essa condição chegamos em:

$$\lambda\ge{\dfrac{b^2}{a^2+b^2}}$$

Logo, a velocidade mínima $V_0$ é:

$$V_0=v\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2+b^2}}$$

$$V_0=v\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2+b^2}}$$

Cinemática

Observe que a unidade do eixo vertical correspondente ao ângulo não é conhecida. Portanto, uma estratégia viável é buscar duas quantidades para serem divididas uma pela outra, dessa forma, a resposta não depende dessa unidade desconhecida. Considere o diagrama abaixo, evidenciando os ângulos em questão:

Pela lei dos senos:

$$\dfrac{R_2}{\sin{\phi}}=\dfrac{R_1}{\sin\left({\pi}-({\theta}+{\phi})\right)}$$

Diferenciando em relação ao tempo a equação acima, chegamos em:

$$R_1\cos{\phi}\dot{\phi}=R_2\cos({\theta}+\phi)\left(\dot{\theta}+\dot{\phi}\right)$$

A taxa de variação de $\theta$ é a velocidade angular relativa $\omega={\omega}_2-{\omega}_1$ e a taxa de variação de $\phi$ é a inclinação da reta obtida pelo gráfico fornecido. Escolhamos dois pontos convenientes para calcular $\dot{\phi}$, de tal forma que não apareça nenhuma função trigonométrica, pois não conseguimos, a priori, computar o valor dessa função, visto que não temos a unidade do ângulo. Escolhamos $\theta=0$ e $\theta=\pi$. Para esses ângulos, $\dot{\phi}$ toma os valores:

$$\dot{\phi}_1=\dfrac{{\omega}k}{1-k}$$

e

$$\dot{\phi}_2=-\dfrac{k{\omega}}{1+k}$$

Observe que esses dois ângulos de $\theta$ correspondem a $\phi$ igual a zero. Por isso, no gráfico, há duas inclinações distintas para $\phi=0$: uma para $\theta=0$ e outra para $\theta=\pi$. Obtendo os valores de $\dot{\phi}_1$ e $\dot{\phi}_2$ pelo gráfico e tomando a divisão, chegamos em:

$$\dfrac{\dot{\phi}_1}{\dot{\phi}_2}=\dfrac{1+k}{k-1}\approx{\dfrac{10}{-2,66}}=-3,76$$

Resolvendo para $k$:

$$k\approx{0,58}$$

$$k\approx{0,58}$$

Energia

Seja $h$ a altura inicial do $C.M.$ do slinky. Por consevação de energia, a velocidade requerida é:

$$v_0=\sqrt{2gh}$$

A tarefa difícil é calcular $h$. Para isso, considere que o slinky é formado por $N$ partes de massa igual a $m/N$. As constantes elástica de cada pedaço é $Nk$, visto que estão conectados em série. No equilíbrio, temos, para a e-nésima massa de baixo para cima:

$$kN.l_n=(n-1)mg/N$$

Onde $l_n$ é o tamanho da e-nésima massa. A relação acima é obtida impondo o equilíbrio dessa massa. A posição vertical da e-nésima massa é dada pela soma dos comprimentos de cada pedaço abaixo dele:

$$x_n=\dfrac{mg}{N^2k}\sum_{j=1}^{n} (j-1)$$

A posição do C.M. é:

$$h=\dfrac{1}{m}\sum_{j=1}^{N} \dfrac{m}{N}\left(x_j-\dfrac{1}{2}l_j\right)$$

Onde foi subtraido de cada posição, metade do tamanho do pedaço em questão. Isso foi feito para que a soma seja computada tomando a posição do centro de cada massa. Agora, basta computarmos as somas e impor que $N$ é muito maior que um. As somas necessárias são duas: a dos $n$ primeiros naturais e a dos $n$ primeiros quadrados dos naturais. A primeira é simplesmente uma progressão aritmética e a segunda pode ser feita da seguinte forma:

$$(1+1)^3=1^3+3.1^2.1+3.1.1^2+1^3$$

$$(1+2)^3=1^3.1^2.2+3.1.2^2+3+2^3$$

$$(1+3)^3=1^3.1^2.3+3.1.3^2+3+3^3$$

$$(...)$$

$$(1+k)^3=1^3+3.1^2.k+3.1.k^2+k^3$$

Somando todos os termos da esquerda e igualando isso a soma de todos os termos da direita, teremos uma soma telescópica. Os termos restantes são (S é a soma requerida):

$$(1+k)^3=k+\dfrac{3}{2}k(k+1)+3S+1$$

Logo:

$$S=\dfrac{k^3}{3}+\dfrac{k^2}{2}+\dfrac{k}{6}$$

Para $k$ muito grande:

$$S=\dfrac{k^3}{3}$$

Substituindo as somas nas expressões obtidas, chegamos em:

$$h=L/3$$

Portanto:

$$v_0=\sqrt{\dfrac{2}{3}gL}$$

$$v_0=\sqrt{\dfrac{2}{3}gL}$$