Soluções Física – Semana 127

Termodinãmica

Como existe uma diferença de temperatura entre a água e o ar fora do gelo ocorrerá transferência de calor entre esses meios, dado pela lei de Fourier:

$\phi=\dfrac{dQ}{dt}=-\dfrac{kA\Delta T}{x}$

Onde $x$ é a espessura do meio onde ocorre a transferência de calor, $A$ é a área do meio e $\Delta T$ é a diferença de temperatura (em $K$).

O calor que é transferido da água para o ambiente externo faz a água se solidificar.

Quando uma massa $dm$ de água passa do estado líquido para o sólido libera uma quantidade de calor:

$dQ=dm\cdot L$

juntando as duas equações, temos:

$\dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{dm\cdot L}{dt}=-\dfrac{kA\Delta T}{x}$

$dm=\rho dV=\rho A dx$

$\dfrac{\rho A dx\cdot L}{dt}=-\dfrac{kA\Delta T}{x}$

$\rightarrow \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{k\Delta T}{\rho \cdot x\cdot L}$

Para $x=l=30cm$:

$\rightarrow \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{5\cdot 10^{-3}\dfrac{cal}{s\cdot cm \cdot K}(-15-0)K}{1,00\dfrac{g}{cm^3} \cdot 30cm\cdot 80\dfrac{cal}{g}}\cdot \dfrac{3600 s}{h}$

$\rightarrow \dfrac{dx}{dt}=0,1125\dfrac{cm}{h}$

$\dfrac{dx}{dt}=0,1125\dfrac{cm}{h}$

Ótica Física/ diferença de caminho ótico

Inicialmente percebamos que ambos os raios ao saírem estarão em fase.

O raio que reflete no primeiro espelho está em inversão de fase com o raio original. O raio que passa para o segundo espelho e reflete também estará em inversão de fase com o raio original. Portanto, os raios sairão em fase.

Agora basta calcularmos a diferença de caminho entre os dois raios.

Percebemos pela imagem que a diferença de caminho entre os raios é: $\delta r=2r_1-r_2$.

Seja $d$ a distância entre os espelhos.

$\cos{\theta}=\dfrac{d}{r_1} \rightarrow r_1=\dfrac{d}{\cos{\theta}}$

Para $r_2$:

$\tan{\theta}=\dfrac{x}{d} \rightarrow x=d\tan{\theta}$

$\sin{\theta}=\dfrac{r_2}{2x} \rightarrow r_2=2\cdot d\tan{\theta} \sin{\theta}=\dfrac{2d\sin^2{\theta}}{\cos{\theta}}$

$\rightarrow \delta r=2\dfrac{d}{\cos{\theta}}-\dfrac{2d\sin^2{\theta}}{\cos{\theta}}$

$\delta r=\dfrac{2d(1-\sin^2{\theta})}{\cos{\theta}}$

$\rightarrow \delta r=2d\cos{\theta}$

Como os raios saem em fase a diferença de caminho entre os raios deve ser múltiplo do comprimento de onda. Sejam as distâncias entre os espelhos para dois máximos consecutivos $d_1$ e $d_2$.

$\begin{cases} 2d_1\cos{\theta}=m\lambda \\ 2d_2\cos{\theta}=(m+1)\lambda \end{cases}$

$\rightarrow d_2-d_1=\Delta d=\dfrac{\lambda}{2\cos{\theta}}$

Como o espelho de cima tem velocidade constante $v$:

$v=\dfrac{\Delta d}{T}$

$T=\dfrac{\lambda}{2v\cos{\theta}}$

$T=\dfrac{\lambda}{2v\cos{\theta}}$

Conservação de energia e resultante centrípeta

$a)$ Considere que após o objeto descer uma distância $y$ no plano ele possua velocidade em $x$ de módulo $v_x$, e em $y$ de módulo $v_y$. Como a massa está descendo o plano em direção ao sentido positivo do eixo $x$, temos que: $v_x=\dot x$ e $v_y=-\dot y$.

Diferenciando a relação entre os eixos:

$y=-kx^n \rightarrow \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt} \rightarrow \dot y=(-k\cdot n\cdot x^{n-1})\dot x$

$\rightarrow v_y=(k\cdot n\cdot x^{n-1})v_x$

Coonservando a energia mecânica no sistema:

$-mgy=\dfrac{mv^2}{2}$

$v^2=2g(kx^n)$

Analisando as forças no sistema:

Olhando para a resultante centrípeta das forças:

$mg\cos{\theta}-N=\dfrac{mv^2}{R}$

Temos as seguintes relações:

$I)$

$\tan{\theta}=\dfrac{v_y}{v_x}=knx^{n-1}=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2{\theta}}}{\cos{\theta}}$

$\rightarrow \cos{\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2n^2x^{2n-2}}}$

$II)$

$R=\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right]^{\dfrac{3}{2}}}{\left|\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|}$

$\rightarrow R=\dfrac{\left[1+\left(-knx^{n-1}\right)^2\right]^{\dfrac{3}{2}}}{\left|-kn(n-1)x^{n-2}\right|}$

Para o momento de perda de contato a normal é zero:

$mg\cos{\theta}=\dfrac{mv^2}{R} \rightarrow gR\cos{\theta}=v^2$

$g\cdot \dfrac{\left[1+\left(-knx^{n-1}\right)^2\right]^{\dfrac{3}{2}}}{\left|-kn(n-1)x^{n-2}\right|}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+k^2n^2x^{2n-2}}}= 2g(kx^n)$

$\rightarrow (1+k^2n^2x^{2n-2})=2kx^n\cdot kn(n-1)x^{n-2}=2k^2n(n-1)x^{2n-2}$

$k^2n(n-2)x^{2n-2}=1$

$\rightarrow x=\left[k^2n(n-2)\right]^{\frac{1}{2-2n}}$

$b)$ Voltando para a penúltma equação do item $a)$, vemos que para que ocorra a perda de contato é necessário que: $k^2n(n-2)x^{2n-2}=1$.

Para que não occorra perda de contato essa equação nunca pode ser válida, inclusive para os valores de $x$ tendendo ao infinito. Logo:

$n\leq 0$ ou $n-2\leq 0 \rightarrow n\leq 2$

Como $n$ é “não-negativo”, ele só pode ser: $0$, $1$ ou $2$.

$\rightarrow n\in \{0;1;2\}$

$a) x=\left[k^2n(n-2)\right]^{\frac{1}{2-2n}}$

$b) n\in \{0;1;2\}$