Soluções Física - Semana 143

Análise de dados: Pêndulo simples

$a)$ Podemos facilmente calcular as médias e suas respectivas incertezas facilmente utilizando o modo SD da calculadora (ou na primeira tela do modo REG Lin) após inserir as medidas. Lembre-se que a incerteza associada à média aritmética de um conjunto de medidas é a soma quadrática do erro de medição da tabela com o desvio padrão da média sobre $\sqrt{N}$ (N é o número de medidas), i.e. $\Delta \bar{t}=\sqrt{0,3^2+\left(sx/ \sqrt{N}\right)^2}$, sendo $sx$ o desvio padrão da média da forma que é obtido a partir da calculadora científica (algumas calculadoras podem ter sutis variações na notação e nos valores obtidos). Verifica-se que, pela proximidade de valores entre os dados, a incerteza associada ao desvio padrão é desprezível frente ao erro experimental, e portanto já colocou-se $0,3$ $s$ ao topo da tabela como a incerteza para cada média. Segue abaixo a tabela completa.

OBS: Em uma prova, é recomendado colocar o nome da tabela logo acima desta.

Tabela 1: Medidas do tempo de dez oscilações para diferentes comprimentos de pêndulo

$b)$ Para calcular $\bar{T}$, fazemos $\bar{t}/10$, e analogamente para sua incerteza: $\Delta \bar{T}=\Delta \bar{t}/10$. Para a incerteza de $\Delta \bar{T}^2$, podemos consultar a tabela de propagação do resumo fornecido para o caso $w=x^m$ com $m=2$, sendo o erro propagado $\Delta w=|2x\Delta x|$, ou simplesmente derivar $\bar{T}^2$ (se o aluno souber, é claro). Em qualquer caso, $\Delta \bar{T}^2=2\bar{T}\Delta\bar{T}$. Segue abaixo a tabela pedida.

Tabela 2: Valores de período e período ao quadrado para diferentes comprimentos

$c)$ Segue abaixo o gráfico pedido.

Figura 1: Gráfico linearizado de $\bar{T}^2$ versus $L$

Utilizamos o modelo de papel milimetrado que pode ser obtido clicando aqui. No gráfico, utilizamos uma escala de 1 "quadrado" $\rightarrow$ $0,10$ $s^2$ no eixo $y$ e $3$ "quadrados" $\rightarrow$ $5$ $cm$ no eixo $x$. Destacamos também uma breve legenda no canto inferior direito e informações relevantes no canto superior esquerdo: o tipo de função ajustada ao conjunto de pontos, coeficientes angular e linear e o coeficiente de correlação $r$, além das barras de erro devidamente inseridas (apenas em $y$, pois são menores que 1mm em $x$). Mais informações sobre como essas quantidades foram obtidas seguem no próximo item.

OBS: Buscamos obter uma escala "bonita" (usando números pares ou múltipos de 5) e ocupar o máximo de espaço do gráfico ao mesmo tempo. Muitas vezes, o primeiro torna-se bastante difícil, especialmente numa prova quando há tempo limitado; portanto, não se atenha muito à isso. No entanto, busque SEMPRE ocupar a maior área possível no seu gráfico (a partir de 70% do papel se torna aceitável).

$d)$ Utilizaremos o método de regressão linear, mas encorajo os alunos a resolverem utilizando o . Para isso, colocamos primeiramente os pares $(x,y)$ no modo REG Lin da calculadora. Com isso, podemos obter facilmente os valores brutos dos coeficientes $a$, $b$ e $r$ da reta ajustada aos pontos:

$a=-0,044$

$b=0,0411$

$r=0,99935$

onde omitimos, por enquanto, as unidades intrínsecas à $a$ e $b$. Agora, podemos estimar as incertezas dos coeficientes a partir das fórmulas:

$\Delta a=\displaystyle |\sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N}}* \Delta b|$,

$\Delta b=\displaystyle |\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{r^2}-1}{N-2}} * b|$.

Em que $N$ é o número de pontos experimentais e $r$ o coeficiente de correlação.

Obtemos, já respeitando as regras de algarismos significativos:

$\Delta a= 0,04$ e $\Delta b =0,0009$

Agora, podemos escrever $a$ e $b$ de forma adequada, respeitando os algarismos significativos das incertezas:

$\boxed{a=-0,04 \pm 0,04}$,

$\boxed{b=\left(4,11 \pm 0,09\right) *10^{-2}}$.

Por fim, escolhemos duas abcissas quaisquer $x_1$ e $x_2$, das quais extraímos as ordenadas $y_1$ e $y_2$ na reta ajustada $y=ax+b$. Marcando (apenas para orientação, não deixe-os no produto final) a localização desses pontos no gráfico, traçamos uma reta colinear à estes que é exatamente a reta ajustada.

$e)$ Percebendo que:

$b=\dfrac{4 \pi^2}{g}$ $\rightarrow$ $g=\dfrac{4 \pi^2}{b}$.

Para o caso $w=ax^m$ ($a=cte$) com $m=-1$, o erro propagado é $\Delta w=|a \Delta x/x^2|$, logo propagamos a incerteza $\Delta g$ como sendo

$\Delta g=\dfrac{4 \pi^2}{b^2} \Delta b=21\,cm/s^2$.

Portanto, obtemos $g=\left(9,61 \pm 0,21\right)*10^2 \,cm/s^2$ ou, no SI:

$\boxed{g=\left(9,61 \pm 0,21\right)\,m/s^2}$.

Um boa forma de comparar com o valor esperado é computando a exatidão da medida:

$|\dfrac{g-g_{teo}}{g_{teo}}|*100 \%=2\%$,

o que constitui uma medida bastante exata (exatidões de até $5\%$ encaixam-se nessa categoria), mesmo não sendo aparentemente tão próxima da esperada. Vale também mencionar que a incerteza da medida cobre o valor esperado.

OBS: Detalhou-se bastante a solução para deixar claro que metodologias foram e são comumente usadas, auxiliando o aluno. Em uma prova como a da OBF isso não é necessário; escreva e mostre apenas o que for pedido e ideias chave para o entendimento do corretor.

$a)$

Tabela 1: Medidas do tempo de dez oscilações para diferentes comprimentos de pêndulo

$b)$

Tabela 2: Valores de período e período ao quadrado para diferentes comprimentos

$c)$ e $d)$

Figura 1: Gráfico linearizado de $\bar{T}^2$ versus $L$

$e)$

$\boxed{g=\left(9,61 \pm 0,21\right)\,m/s^2}$.

A medida possui uma exatidão de $2\%$ em relação ao valor esperado, constituindo um bom resultado.

Cálculo de incerteza, construção de tabelas e gráficos.

a)

Após um intervalo de tempo $\Delta{t}$, a energia transferida para o sistema é $P\Delta{t}$. Essa energia é usada para alterar em $\Delta{T}$ a temperatura do sistema, logo:

$$P\Delta{t}=\left(Mc+C_e\right)\Delta{T}\to{a\left(Mc+C_e\right)=P}$$

b)

Usando a função regressão linear da calculadora, obtemos o coeficiente angular $a$:

$$a=(0,3883\pm 0,0005)(K/min)$$

Onde foi usado o valor $\Delta a=\displaystyle |\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{r^2}-1}{N-2}} * a|$ para a incerteza dessa quantidade, onde $r$ é o coeficiente de correlação e $N$ é o número de pontos experimentais. Dessa forma, podemos inserir o valor de $a$ para $M=800g$ na tabela do enunciado.

c)

Note que $\Delta{y}=dfrac{1}{a^2}\Delta{a}$. Com isso, podemos construir a tabela requerida:

d)

 

e)

Inserindo os valores de $y$ e $M$ na função regressão linear da calculadora, obtemos os valores do coeficientes $A$ e $B$:

$$A=(0,1867\pm 0,0023)(s/gK)$$

$$B=(5,6\pm 1,3)(s/K)$$

Onde $\Delta{A}=\displaystyle |\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{r^2}-1}{N-2}} * A|$ e $\Delta{B}=\displaystyle |\sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} x_i^2}{N}}* \Delta A|$.

f)

Como $c=AP$, obtemos: $c=(4,19\pm 0,05)(J/gK)$, onde foi usado que $\Delta c=\sqrt{(A\Delta P)^2+(P\Delta A)^2}$.

É conhecido o fato de que o calor específico real da água é dado por $c_R=4,12J/g^{\circ}C$. Portanto, $\dfrac{c-c_R}{c_R}\approx 1,7\%$, o que confere boa credibilidade para o resultado do experimento.

a)

$$P\Delta{t}=\left(Mc+C_e\right)\Delta{T}\to{a\left(Mc+C_e\right)=P}$$

b)

Gráfico

c)

Tabela

d)

Gráfico

e)

$$A=(0,1867\pm 0,0023)(s/gK)$$

$$B=(5,6\pm 1,3)(s/K)$$

f)

$c=(4,19\pm 0,05)(J/gK)$

Cálculo de momento de inércia, tratamento de dados, cálculo de erros, montagem de gráficos e tabelas.

Parte A

$a)$ Como o corpo é achatado, podemos utilizar o teorema dos eixos perpendiculares, calculando primeiramente os momentos de inércia dos eixos perpendiculares primeiro.

Figura 01: Eixos perpendiculares

Como a espessura da barra é desprezível, o momento de inércia ao redor do eixo $x$ é o mesmo que o de uma barra fina de comprimento $a$ ao redor de seu centro, ou seja:

$I_x=\dfrac{ma^2}{12}$

Analogamente, o momento de inércia ao redor do eixo $y$ é:

$I_y=\dfrac{mb^2}{12}$

Pelo teorema dos eixos perpendiculares temos:

$I_z=I_x+I_y$

Portanto:

$\boxed{I=\dfrac{m(a^2+b^2)}{12}}$

$b)$ Para o cálculo da incerteza, utilizaremos a tabela de incerteza da OBF.

Separaremos inicialmente o nosso momento de inércia como a soma de duas funções:

$I=g(m,a)+h(m,b)$

Com $g(m,a)=\dfrac{ma^2}{12}$ e $h(m,b)=\dfrac{mb^2}{12}$.

$I)$ Calculando a incerteza de $g$:

Como a nossa função possui uma parte constante, temos:

$\sigma_g=\dfrac{1}{12}\sigma_{(ma^2)}$   Eq(01)

$II)$ Calculando a incerteza de $ma^2$:

Como este é um produto, utilizaremos a regra do produto para as incertezas:

$\left(\dfrac{\sigma_{(ma^2)}}{ma^2}\right)^2=\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_{(a^2)}}{a^2}\right)^2$   Eq(02)

$III)$ Calculando a incerteza de $a^2$

Pela regra da potência temos:

$\sigma_{(a^2)}=2a\sigma_a$   Eq(03)

Juntando as Eq(03) e Eq(02):

$\left(\dfrac{\sigma_{(ma^2)}}{ma^2}\right)^2=\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2a\sigma_a}{a^2}\right)^2$

$\left(\dfrac{\sigma_{(ma^2)}}{ma^2}\right)^2=\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_a}{a}\right)^2$

$\sigma_{(ma^2)}=ma^2\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_a}{a}\right)^2}$   Eq(04)

Juntando as Eq(04)  e Eq(01):

$\boxed{\sigma_g=\dfrac{ma^2}{12}\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_a}{a}\right)^2}}$

Analogamente, podemos calcular a incerteza de $h$:

$\boxed{\sigma_h=\dfrac{mb^2}{12}\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_b}{b}\right)^2}}$

Como o momento de inércia é dado pela soma das funções $g$ e $h$, temos  que:

$(\sigma_I)^2=(\sigma_g)^2+(\sigma_h)^2$

$(\sigma_I)^2=\left(\dfrac{ma^2}{12}\right)^2\left[\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_a}{a}\right)^2\right]^2+\left(\dfrac{mb^2}{12}\right)^2\left[\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_b}{b}\right)^2\right]^2$

$\boxed{\sigma_I=\sqrt{\left(\dfrac{ma^2}{12}\right)^2\left[\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_a}{a}\right)^2\right]^2+\left(\dfrac{mb^2}{12}\right)^2\left[\left(\dfrac{\sigma_m}{m}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_b}{b}\right)^2\right]^2}}$

Transformando os valores fornecidos para o SI:

$m=0,01108 kg$, $\sigma_m=0,00001 kg$, $a=0,0250 m$, $b=0,3100 m$ e $\sigma_a=\sigma_b=0.0005 m$

Aplicando valores chegamos a:

$\boxed{\sigma_I=4\cdot 10^{-9} kg\cdot m^2}$

Portanto, calculado o valor para o momento de inércia, chegamos a:

$\boxed{I=(89309\pm 4)\cdot 10^{-9} kg\cdot m^2}$

Parte B

$a)$ Para essa solução, utilizaremos a definição de momento de inércia diretamente:

$I=\displaystyle \int r^2dm$

Figura 02: Fita adesiva

sendo $\sigma$ a densidade superficial de área temos:

$\sigma=\dfrac{4M}{\pi(d_2^2-d_1^2)}$

Logo:

$I=\displaystyle \int r^2\cdot \sigma dA=\sigma \displaystyle \int r^2\cdot 2\pi rdr$

$I=\dfrac{4M}{\pi(d_2^2-d_1^2)}\cdot 2\pi \displaystyle \int_{\frac{d_1}{2}}^{\frac{d_2}{2}} r^3dr$

$I=\dfrac{8M}{d_2^2-d_1^2}\cdot \dfrac{d_2^4-d_1^4}{64}$

Logo:

$\boxed{I=\dfrac{M(d_1^2+d_2^2)}{8}}$

$b)$ Análogo ao resultado encontrado na parte A, temos:

$\boxed{\sigma_I=\sqrt{\left(\dfrac{Md_1^2}{8}\right)^2\left[\left(\dfrac{\sigma_M}{M}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_{d_1}}{d_1}\right)^2\right]^2+\left(\dfrac{Md_2^2}{8}\right)^2\left[\left(\dfrac{\sigma_M}{M}\right)^2+\left(\dfrac{2\sigma_{d_2}}{d_2}\right)^2\right]^2}}$

Aplicando valores:

$\boxed{\sigma_I=2\cdot 10^{-9} kg\cdot m^2}$

Calculando o valor para o momento de inércia e aplicando a incerteza:

$\boxed{I=(9121\pm 2)\cdot 10^{-9} kg\cdot m^2}$

Parte C

$a)$ Pelo teorema dos eixos paralelos, sabemos que o momento de inércia em relação a um ponto de apoio a uma distância $d$ é:

$I=I_{cm}+md^2$

$I=m(R^2+d^2)$

Aplicando a segunda lei de Newton para a rotação:

$-mgd\cdot \sin{\theta}=I\alpha$

$-mgd\sin{\theta}=m(R^2+d^2)\alpha$

Como o ângulo é pequeno:

$\sin{\theta}\approx \theta$

Portanto:

$\ddot{\theta}=-\left(\dfrac{gd}{R^2+d^2}\right)\theta$

Essa é a equação de um MHS, seu período de oscilação é:

$\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^2+d^2}{gd}}}$

$b)$ Pela desigualdade das médias temos que:

$\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

A igualdade ocorre para $a=b$.

Portanto:

$\dfrac{\dfrac{R^2}{d}+d}{2}\geq \sqrt{\dfrac{R^2}{d} \cdot d}=R$

O valor mínimo ocorrerá para:

$\dfrac{R^2}{d}=d$

$\boxed{d=R}$

$c)$ Plotando o gráfico do período em função da distância temos:

Figura 03: Gráfico $T$x$d$

Aproximando o gráfico ao redor da abscissa de período mínimo:

Figura 04: Aproximação da Figura 03

Olhando para a figura, podemos obter um valor aproximado para o raio em torno de $6,70 cm$.

$\boxed{R\approx 6,70 cm}$

OBS: Qualver valor entre $6,50 cm$ e $7,00 cm$ também é uma aproximação boa.

$d)$ Primeiramente, iremos fazer uma tabela de $dT^2$ e $d^2$, com suas respectivas incertezas:

Figura 05: Tabela $dT^2$ e $d^2$

Plotando o gráfico de $dT^2$ em função de $d^2$ obtemos:

Figura 06: Gráfico $dT^2$ x $d^2$

$e)$ Organizando um pouco a equação do período, chegamos a:

$d\cdot T^2=\dfrac{4\pi^2R^2}{g}+\dfrac{4\pi^2}{g}\cdot d^2$

Se renomearmos as variáveis:

$Y=d\cdot T^2$, $A=\dfrac{4\pi^2R^2}{g}$, $B=\dfrac{4\pi^2}{g}$, e $X=d^2$

Temos que:

$Y=A+BX$

Essa é a equação de uma reta.

Utilizando a função regressão linear da calculadora casio, achamos:

$A=(1,16\pm 0,05)\cdot 10^{-5} m\cdot s^2$ e $B=(4,09\pm 0,05)m^{-1}s^2$

$I)$

$B=\dfrac{4\pi^2}{g}$

$\rightarrow g=\dfrac{4\pi^2}{B}$

$\rightarrow \sigma_g=\dfrac{4\pi^2}{B^2}\sigma_B$

Aplicando valores chegamos a:

$\boxed{g=(9,7\pm 0,1)m\cdot s^{-2}}$

$II)$

$A=\dfrac{4\pi^2R^2}{g}$

$R=2\pi\sqrt{Ag}$

Primeiramente, temos que:

$\sigma_{Ag}=Ag\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_A}{A}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_g}{g}\right)^2}$

Da equação para o $R$ temos:

$\sigma_R=2\pi\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{Ag}}\sigma_{Ag}$

$\sigma_R=\pi \sqrt{Ag}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_A}{A}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_g}{g}\right)^2}$

Aplicando valores chegamos a:

$\boxed{R=(0,067\pm 0,002)m}$

Parte A

$a)$

Demonstração

$b)$

$\boxed{I=(89309\pm 4)\cdot 10^{-9} kg\cdot m^2}$

Parte B

$a)$

Demontração

$b)$

$\boxed{I=(9121\pm 2)\cdot 10^{-9} kg\cdot m^2}$

Parte C

$a)$

Demonstração

$b)$

Demonstração

$c)$

$\boxed{R\approx 6,70 cm}$

$d)$

$e)$

$\boxed{g=(9,7\pm 0,1)m\cdot s^{-2}}$

$\boxed{R=(0,067\pm 0,002)m}$