Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
Análise de dados, calculo de incerteza, montagem de gráficos e tabelas
a) Para instrumentos de medição, sabemos que existem duas maneiras de analisar a incerteza: a primeira é se o instrumento for digital, nesse caso a incerteza associada a esse instrumento é a menor medida apresentada (por exemplo um cronômetro, ou um termômetro digital), ou alguma relação entre as medições, e nesse caso o manual de instruções do aparelho deve trazer a maneira como a incerteza deve ser calculada (por exemplo um multímetro digital), o segundo é o caso para um aparelho analógico, neste caso a incerteza do aparelho é a menor medida possível a ser feita dividida por dois (por exemplo uma régua escolar).
Como o transferidor é um instrumento analógico, e sua incerteza é 0,5∘ a sua menor medida é 1,0∘.
b) Plotando os pontos em um gráfico temos:
Figura 01: Gráfico α x θ
c) Para a construção dessa tabela teremos que calcular a incerteza da função seno. Utilizando a tabela de incertezas apresentada pela OBF, temos que:
σsinx=|cosx|σx
Com o ângulo x medido em radianos.
Como o nosso ângulo foi dado foi dado em graus devemos convertê-lo para radianos multiplicando por π180.
σsinx=|cosx|⋅0,5⋅π180
→σsinx=π360|cosx|
Aplicando os valores, montamos a seguinte tabela:
Figura 02: Tabela sinα x sinθ
d) Plotando o gráfico de sinα x sinθ:
Figura 03: Gráfico sinα x sinθ
e) Organizando a lei de Snell, chegamos a:
sinα=1nsinθ
Essa é uma equação do tipo Y=A+BX com:
Y=sinα , A=0 , B=1n e X=sinθ
Fazendo uma regressão linear com os pontos, e utilizando o método dos mínimos quadrados para calcular a incerteza dos coeficientes encontramos:
A=(−0,0002±0,0003) e B=(0,67337±0,0005)
Como B=1n:
n=B−1
Utilizando a tabela de incertezas da OBF:
σn=σBB2
Aplicando valores, chegamos a:
n=(1,485±0,001)
Intermediário
Montagem de graficos e tabelas, cálculo de incertezas e calculo de valores.
a) Plotando o gráfico, temos:
Figura 04: Gráfico h x t
b) Pela lei da condução térmica de Fourier, temos:
dqdt=kAΔθx
Onde x é o tamanho da camada de gelo, e A é a área da camada de gelo.
A quantidade de calor para congelar uma massa dm de água é:
dq=dm⋅L
dq=ρAdx⋅L
Logo:
ρLAdxdt=KAΔθx
xdx=KΔθρLdt
∫hh0xdx=kΔθρL∫t0dt
→h2=h20+2KΔθρL⋅t
Essa equação já é uma equação linearizada, da tipo Y=A+BX, com:
Y=h2 , A=h20 , B=2KΔθρL e X=t
c) Como a função que estamos trabalhando é um polinômio, a incerteza de cada medida varia de acordo com a medida:
σh2=2hσh
Organizando a tabela:
Figura 05: Tabela h2 x t
Plotando o gráfio obtemos:
Figura 06: Gráfico h2 x t
d) Fazendo uma regressão linear com os dados da Figura 05 obtemos:
A=(0,00251±0,00001)m2 e B=(1947±3)⋅10−10m2s−1
Como A=h20:
h0=√A e σh0=σA2√A
Aplicando valores chegamos a:
h0=(0,0500±0,0001)m
Como B=2KΔθρL:
K=ρLB2Δθ
Utilizando a tabela de incertezas da OBF para as incerteza do produto e da divisão temos:
σ2K=(BLσρ2Δθ)2+(BρσL2Δθ)2+(ρLσB2Δθ)2+(BLρσΔθ2(Δθ)2)2
OBS: Como o Δθ é a diferença entre duas temperaturas, a sua incerteza não será apenas 0,1∘, mas será necessário utilizar a regra da incerteza para a soma:
σ2Δθ=0,12+0,12
σΔθ=√2⋅0,1∘
Aplicando valores encontramos:
K=(2,17±0,02)W/(m⋅K)
e) Ajeitando a equação da altura temos:
h=[h20(1+2KΔθtρLh20)]12
h=h0(1+2KΔθtρLh20)12
Utilizando a aproximação binomial:
h=h0(1+122KΔθtρLh20)
h=h0+KΔθρLh0⋅t
Perceba que essa é uma função linear entre h e t, usando os dois primeiros valores para calcular o coeficiente angular temos:
m=0,0625−0,05667200−3600=KΔθρLh0=K⋅151000⋅335200⋅0,05
K=1,83W/(m⋅K)
Perceba que a diferença entre esse resultado e o resultado encontrado antes difere em 15% o que é uma diferença muito grande, e portanto, esse método não é uma boa aproximação para essa faixa de valores.
Avançado
Cálulo de ddp, resolução de EDO, cálculo de erros, montagem de tabelas e gráficos
Parte A
a) Suponhamos que a corrente total que passa no circuito é I, e que a corrente que passa no capacitor é i=˙Q, dessa maneira a corrente que passa no resistor paralelo ao capacitor é I−i. Como a ddp no capacitor é igual a ddp nesse resistor temos:
QC=R(I−i)
RI=QC+R˙Q
A ddp do circuito é a soma da ddp do capacitor e do resistor em série com este, logo:
ε=QC+RI=QC+QC+R˙Q
˙Q+2RCQ=εR
b) A solução particular será constante:
Qp=X e ˙Qp=0
→Qp=εC2
A solução homogênea será do tipo:
Qh=A⋅eλt e ˙Qh=λA⋅eλt
λA⋅eλt+2RCA⋅eλt=0
→λ=−2RC
→Qh=A⋅e−2RCt
c) A carga será a soma da homogênea com a particular:
Q(t)=A⋅e−2RCt+εC2
Como a carga inicial é zero:
0=A+εC2
A=−εC2
A carga no capacitor será:
Q(t)=εC2(1−e−2RCt)
A ddp será:
εc=ε2(1−e−2RCt)
Como εc+εR=ε:
εR=ε2(1+e−2RCt)
Parte B
a) Se plotarmos como as tensões se comportariam em um mesmo gráfico teremos:
Figura 07: Gráfico das tensões
b) Utilizando a aproximação para a exponencial teremos:
e−2RCt≈1−2RCt
Portanto, nas ddp's do capacitor e do resistor:
εc≈εRC⋅t
e
εR≈ε−εRC⋅t
Portanto:
ac=εRC , aR=−εRC , bc=0 e bR=ε
c)
tanα=ac=εRC
C=εR⋅tanα
Parte C
a) Plotando os pontos:
Figura 08: Gráfico Tensão x Tempo
b) Se aproximarmos o gráfico na região próxima a t=0 teremos:
Figura 09: Gráfico extrapolado
Podemos ver que o coeficiente angular da reta extrapolada do gráfico vai ser:
ac≈3−020−0=εRC=610000C
C=4mF
c) Organizando a equação teremos:
εc=ε2(1−e−2RCt)
2εcε=1−e−2RCt
e−2RCt=1−2εcε
−2RCt=ln(1−2εcε)
ln(1−2εcε)=−2RCt
Perceba que essa é uma função do tipo Y=A+BX com:
Y=ln(1−2εcε) , A=0 , B=−2RC e X=t
d) Para o cálculo da incerteza associado ao logaritmo, utilizaremos a fórmula para o caso geral de uma função:
Considere uma fução:
f=f(x1,x2,x3,...,xn)
A incerteza associada a essa função é dada por:
(σf)2=n∑i=1[(∂f∂xi)2(σxi)2]
Para a nossa função:
f(ε,εc)=ln(1−2εcε) e σεc=σε=0,05V
Calculando as derivadas parciais:
∂f∂εc=22εc−ε e ∂f∂ε=2εcε2−2εεc
Logo:
(σf)2=(σε)2(4ε2c(ε2−2εεc)2+4(2εc−ε)2)
Aplicando valores:
σf=0,1√ε2c(36−12εc)2+1(2εc−6)2
Calculando os valores, montamos a seguinte tabela:
Figura 10: Tabela logaritmo x Tempo
Plotando o gráfico temos:
Figura 11: Gráfico Logaritmo x Tempo
e) Fazendo uma regressão linear encontramos:
A=(−0,003±0,005) e B=(−0,0498±0,0001)
Temos que:
B=−2RC
C=−2RB
A incerteza da capacitância será:
σc=2√(σRR2B)2+(σBRB2)2
Portanto:
C=(4,0±0,2)mF
Perceba que a aproximação feita no item b) é uma aproximação muito boa.