Soluções Física - Semana 161

Mecânica

a) 

O trabalho de uma força variável é a área sob o gráfico de Força vs Deslocamento. Dessa forma, o trabalho é a área do gráfico entre os pontos $x=0,0\,m$ e $x=1,0\,m$.

$\tau = A_{rea}$

$\tau = \dfrac{(1+3)\,Mg\times 1\,m}{2}$

Logo, usando $Mg=5\times10^4\,N$:

$\boxed{\tau=1,0\times 10^5\,J}$

b)

Para que a corda não arrebente, a tração no fio superior nunca deve exceder a tensão máxima da corda. Já que a corda superior suporta todo o peso da estátua, temos:

$T = Mg$

Em que $T$ é a tração no fio superior. Para que a corda não arrebente, é preciso que $T_{lim}\ge T$, ou seja, a tração limite é sempre maior ou igual que a tração da corda. Assim:

$\boxed{T_{min} =5,0\times10^4\,N}$

c)

Agora que a corda superior foi trocada pelo fio de aço, não há risco de ela arrebentar, portanto vamos estudar apenas as duas cordas inferiores. Da condição de equilíbrio na vertical, temos:

$2 T' \cos{\theta} = Mg$

$\cos{\theta}=\dfrac{Mg}{2T'}$

Em que $T'$ é a tração em um dos fios inferiores e $\theta$ é o ângulo marcado na figura. Note que $\theta \le 90^\circ$, portanto, quanto maior for o ângulo, menor é o cosseno. Isso pode ser percebido observando o gráfico da função cosseno.

Assim, basta minimizar $\cos{\theta}$ para maximizar $\theta$. Para isso fazemos o caso limite em que $T'=T_{min}$:

$\cos{\theta}=\dfrac{1}{2}$

Logo:

$\boxed{\theta=60^\circ}$

d)

Considere o diagrama de forças abaixo. Estamos trabalhando em um referencial que se move junto ao caminhão. Nesse referencial aparece uma força fictícia de magnitude $F_{fic}=Ma$, em que a $M$ é a massa da estátua e $a$ é a aceleração do caminhão. A direção da força é a mesma da aceleração, no entanto, a força aponta no sentido contrário!

Na figura, digamos que o caminhão se move para a direita e começa a frear com aceleração $a$ (para a esquerda). Nesse caso, aparece uma força fictícia no referencial do caminhão que empurra a estátua no sentido contrário à aceleração (para a direita). Esse método de "força fantasma" e mudança de referencial pode parecer excessivamente complicado e algo que não tem sentido físico, no entanto, essa é uma ferramenta extremamente útil em diversos problemas e está presente em situações do dia a dia! Para aprender mais, pesquise sobre Dinâmica no Referencial não Inercial.

De qualquer forma, na condição limite de tombar, temos as seguintes relações:

Equilíbrio na vertical:

$N=Mg$

Em que $N$ é a normal.

Equilíbrio na horizontal:

$F_{at}=Ma$

Em que $F_{at}$ é a força de atrito, que assumimos ser grande o suficiente para que a estátua nunca deslize.

Equilíbrio dos torques em relação ao ponto de contato da estátua com o caminhão:

$Mg\dfrac{D}{2} = Ma\dfrac{L}{2}$

Note que nem o atrito nem a normal realizam torque, já que essas forças são aplicadas no ponto em que estamos analisando o torque.  Assim, fazendo as contas:

$\boxed{a_{max}=2,0\,ms^{-2}}$

a)

$\boxed{\tau=1,0\times 10^5\,J}$

b)

$\boxed{T_{min} =5,0\times10^4\,N}$

c)

$\boxed{\theta=60^\circ}$

d)

$\boxed{a_{max}=2,0\,ms^{-2}}$

Análise dimensional e propagação de calor

Como esse é um problema de estimativa, fatores numéricos (como fatores devido à geometria do objeto) não serão considerados. Portanto, analisaremos apenas proporcionalidades entre as grandezas para estimar o tempo de derretimento.

O calor recebido ao longo do chocolate para que ele derreta se dará pela Lei de Fourier. Logo:

$\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \; \alpha \; \dfrac{A \Delta T}{L} \; \alpha \; \dfrac{L^2}{L}$

$\Delta t \; \alpha \; \dfrac{Q}{L}$

O calor propagado será utilizado para derreter o chocolate, ou seja

$Q \; \alpha \; M$

Como a massa é dada pela densidade vezes o volume, teremos que

$L \; \alpha \; M^{1/3}$

Assim, teremos que:

$\Delta t \; \alpha \; \dfrac{M}{M^{1/3}} = M^{2/3}$

Sendo assim, o tempo total vai ser proporcional a $M^{2/3}$. Logo, fazendo uma simples regra de três, teremos que o tempo que o ovo de chocolate vai demorar para derreter será:

$\Delta t \approx \left( \dfrac{3}{0,25}\right)^{2/3}$

$\boxed{\Delta t \approx 5,2 \; \rm{horas}}$

$\boxed{\Delta t \approx 5,2 \; \rm{horas}}$

Relatividade

Para resolver esse problema, por simplicidade, vamos supor que o cortador de chocolate tenha um comprimento $L$ na direção da esteira. Sendo assim, podemos encontrar os seguintes cenários:

1) No referencial do laboratório, o chocolate será contraído, então o comprimento $L$ do chocolate cortado corresponderá a um comprimento $\gamma L$ no referencial do chocolate. Sendo assim, quando você for comprar um coelhinho de chocolate, ele estará esticado por um fator $\gamma$.

2)No referencial da massa, o cortador de chocolate será contraído por um fator será contraído por um fator de $\gamma$, ou seja, terá um comprimento de $L/\gamma$. Então, nesse referencial, o coelho terá um comprimento de $L/\gamma$. Logo, quando você for comprar um coelhinho de chocolate, ele estará achatado por um fator $\gamma$.

Temos então um paradoxo! Para resolve-lo, vamos analisar com mais detalhe cada cenário. No referencial do laboratório, cada parte do cortador atingirá o chocolate ao mesmo tempo. Porém, pelo princípio da simultaneidade, isso não pode ocorrer no referencial do chocolate, ou seja, cada parte do cortador vai atingir o chocolate em um tempo diferente. Como o cortador está em movimento para o chocolate, as extremidades vão atingir o chocolate em uma distância maior que $L/\gamma$. (Lembre-se que, no referencial do chocolate, o tamanho do cortador é $L/\gamma$)

Essa distância pode ser calculada da seguinte forma:

$L' = \dfrac{L}{\gamma} + v\Delta t'$.

Em que $\Delta t'$ pode ser calculado pela transformada de Lorentz:

$\Delta t' = \gamma(\Delta t + \dfrac{vL}{c^2}) = \gamma\dfrac{vL}{c^2}$

Logo:

$L' =\dfrac{L}{\gamma} + \gamma\dfrac{v^2 L}{c^2} = \gamma L( \dfrac{1}{\gamma^2} + \dfrac{v^2}{c^2}) = \gamma L( 1 - \dfrac{v^2}{c^2} + \dfrac{v^2}{c^2})$

$\boxed{L' = \gamma L}$

Portanto, podemos concluir que o correto é primeiro cenário, ou seja, você comprará um coelho de chocolate esticado por um fator $\gamma$.

$\boxed{L' = \gamma L}$

Você comprará um coelho de chocolate esticado por um fator $\gamma$