Escrito por Akira Ito e Lucas Tavares
Iniciante?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Mecânica[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
O trabalho de uma força variável é a área sob o gráfico de Força vs Deslocamento. Dessa forma, o trabalho é a área do gráfico entre os pontos $$x=0,0\,m$$ e $$x=1,0\,m$$.
$$ \tau = A_{rea}$$
$$ \tau = \dfrac{(1+3)\,Mg\times 1\,m}{2} $$
Logo, usando $$Mg=5\times10^4\,N$$:
$$\boxed{\tau=1,0\times 10^5\,J}$$
b)
Para que a corda não arrebente, a tração no fio superior nunca deve exceder a tensão máxima da corda. Já que a corda superior suporta todo o peso da estátua, temos:
$$ T = Mg$$
Em que $$T$$ é a tração no fio superior. Para que a corda não arrebente, é preciso que $$T_{lim}\ge T$$, ou seja, a tração limite é sempre maior ou igual que a tração da corda. Assim:
$$ \boxed{T_{min} =5,0\times10^4\,N} $$
c)
Agora que a corda superior foi trocada pelo fio de aço, não há risco de ela arrebentar, portanto vamos estudar apenas as duas cordas inferiores. Da condição de equilíbrio na vertical, temos:
$$ 2 T’ \cos{\theta} = Mg$$
$$ \cos{\theta}=\dfrac{Mg}{2T’} $$
Em que $$T’$$ é a tração em um dos fios inferiores e $$\theta$$ é o ângulo marcado na figura. Note que $$\theta \le 90^\circ$$, portanto, quanto maior for o ângulo, menor é o cosseno. Isso pode ser percebido observando o gráfico da função cosseno.
Assim, basta minimizar $$\cos{\theta}$$ para maximizar $$\theta$$. Para isso fazemos o caso limite em que $$T’=T_{min}$$:
$$\cos{\theta}=\dfrac{1}{2} $$
Logo:
$$\boxed{\theta=60^\circ}$$
d)
Considere o diagrama de forças abaixo. Estamos trabalhando em um referencial que se move junto ao caminhão. Nesse referencial aparece uma força fictícia de magnitude $$F_{fic}=Ma$$, em que a $$M$$ é a massa da estátua e $$a$$ é a aceleração do caminhão. A direção da força é a mesma da aceleração, no entanto, a força aponta no sentido contrário!
Na figura, digamos que o caminhão se move para a direita e começa a frear com aceleração $$a$$ (para a esquerda). Nesse caso, aparece uma força fictícia no referencial do caminhão que empurra a estátua no sentido contrário à aceleração (para a direita). Esse método de “força fantasma” e mudança de referencial pode parecer excessivamente complicado e algo que não tem sentido físico, no entanto, essa é uma ferramenta extremamente útil em diversos problemas e está presente em situações do dia a dia! Para aprender mais, pesquise sobre Dinâmica no Referencial não Inercial.
De qualquer forma, na condição limite de tombar, temos as seguintes relações:
Equilíbrio na vertical:
$$ N=Mg $$
Em que $$N$$ é a normal.
Equilíbrio na horizontal:
$$ F_{at}=Ma $$
Em que $$F_{at}$$ é a força de atrito, que assumimos ser grande o suficiente para que a estátua nunca deslize.
Equilíbrio dos torques em relação ao ponto de contato da estátua com o caminhão:
$$ Mg\dfrac{D}{2} = Ma\dfrac{L}{2} $$
Note que nem o atrito nem a normal realizam torque, já que essas forças são aplicadas no ponto em que estamos analisando o torque. Assim, fazendo as contas:
$$ \boxed{a_{max}=2,0\,ms^{-2}} $$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$\boxed{\tau=1,0\times 10^5\,J}$$
b)
$$ \boxed{T_{min} =5,0\times10^4\,N} $$
c)
$$\boxed{\theta=60^\circ}$$
d)
$$ \boxed{a_{max}=2,0\,ms^{-2}} $$
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Intermediário 
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Análise dimensional e propagação de calor
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como esse é um problema de estimativa, fatores numéricos (como fatores devido à geometria do objeto) não serão considerados. Portanto, analisaremos apenas proporcionalidades entre as grandezas para estimar o tempo de derretimento.
O calor recebido ao longo do chocolate para que ele derreta se dará pela Lei de Fourier. Logo:
$$\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \; \alpha \; \dfrac{A \Delta T}{L} \; \alpha \; \dfrac{L^2}{L}$$
$$\Delta t \; \alpha \; \dfrac{Q}{L}$$
O calor propagado será utilizado para derreter o chocolate, ou seja
$$Q \; \alpha \; M$$
Como a massa é dada pela densidade vezes o volume, teremos que
$$L \; \alpha \; M^{1/3}$$
Assim, teremos que:
$$\Delta t \; \alpha \; \dfrac{M}{M^{1/3}} = M^{2/3}$$
Sendo assim, o tempo total vai ser proporcional a $$M^{2/3}$$. Logo, fazendo uma simples regra de três, teremos que o tempo que o ovo de chocolate vai demorar para derreter será:
$$\Delta t \approx \left( \dfrac{3}{0,25}\right)^{2/3}$$
$$\boxed{\Delta t \approx 5,2 \; \rm{horas}}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{\Delta t \approx 5,2 \; \rm{horas}}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Relatividade
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver esse problema, por simplicidade, vamos supor que o cortador de chocolate tenha um comprimento $$L$$ na direção da esteira. Sendo assim, podemos encontrar os seguintes cenários:
1) No referencial do laboratório, o chocolate será contraído, então o comprimento $$L$$ do chocolate cortado corresponderá a um comprimento $$\gamma L$$ no referencial do chocolate. Sendo assim, quando você for comprar um coelhinho de chocolate, ele estará esticado por um fator $$\gamma$$.
2)No referencial da massa, o cortador de chocolate será contraído por um fator será contraído por um fator de $$\gamma$$, ou seja, terá um comprimento de $$L/\gamma$$. Então, nesse referencial, o coelho terá um comprimento de $$L/\gamma$$. Logo, quando você for comprar um coelhinho de chocolate, ele estará achatado por um fator $$\gamma$$.
Temos então um paradoxo! Para resolve-lo, vamos analisar com mais detalhe cada cenário. No referencial do laboratório, cada parte do cortador atingirá o chocolate ao mesmo tempo. Porém, pelo princípio da simultaneidade, isso não pode ocorrer no referencial do chocolate, ou seja, cada parte do cortador vai atingir o chocolate em um tempo diferente. Como o cortador está em movimento para o chocolate, as extremidades vão atingir o chocolate em uma distância maior que $$L/\gamma$$. (Lembre-se que, no referencial do chocolate, o tamanho do cortador é $$L/\gamma$$)
Essa distância pode ser calculada da seguinte forma:
$$L’ = \dfrac{L}{\gamma} + v\Delta t’$$.
Em que $$\Delta t’$$ pode ser calculado pela transformada de Lorentz:
$$\Delta t’ = \gamma(\Delta t + \dfrac{vL}{c^2}) = \gamma\dfrac{vL}{c^2}$$
Logo:
$$L’ =\dfrac{L}{\gamma} + \gamma\dfrac{v^2 L}{c^2} = \gamma L( \dfrac{1}{\gamma^2} + \dfrac{v^2}{c^2}) = \gamma L( 1 – \dfrac{v^2}{c^2} + \dfrac{v^2}{c^2})$$
$$\boxed{L’ = \gamma L}$$
Portanto, podemos concluir que o correto é primeiro cenário, ou seja, você comprará um coelho de chocolate esticado por um fator $$\gamma$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{L’ = \gamma L}$$
Você comprará um coelho de chocolate esticado por um fator $$\gamma$$
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