Soluções Física Semana 163

Mecânica

a)

A demonstração que segue é um pouco formal, mas outras soluções menos detalhadas também existem, então não desanime se fez diferente!

Suponha que a partícula chega com velocidade $v$ e sai com velocidade $v'$. Nosso objetivo é provar a relação $v=v'$, em módulo.

Inicialmente, a velocidade da partícula na direção perpendicular ao plano vale:

$v_\perp =v\cos{\theta}$

Depois da colisão, temos:

 $v'_\perp =v\cos{\theta '}$

Usando a definição do coeficiente $e$:

$e=1$

$\dfrac{v\cos{\theta }}{v\cos{\theta}} = 1$

$v\cos{\theta}=v\cos{\theta '}$

$\cos{\theta} =\cos{\theta '}$

Logo, provamos a relação $\theta = \theta '$.

Note que, na direção ao longo do plano, não há nenhuma força, então podemos usar a relação de que as velocidades ao longo do plano devem ser iguais:

$v\sin{\theta}=v' \sin{\theta '}$

Mas, se $v\cos{\theta}=v\cos{\theta '}$ e $v\sin{\theta}=v' \sin{\theta '}$, significa que ambas as coordenadas de $v$ e $v'$ são iguais, então $v=v'$.

b)

Quando calculamos a variação do momento linear da partícula (quantidade de movimento), temos a relação abaixo. Tome muito cuidado pois estamos trabalhando com vetores, então é preciso considerar as direções e sentidos nos cálculos.

$\Delta p =p-p_0$

$\Delta p = mv\cos{\theta}- (-mv\cos{\theta)}$

 $\Delta p = 2mv\cos{\theta}$

É claro que esse momento não pode surgir do nada. Esse momento que a partícula ganhou foi obtido a partir da colisão com a parede. Enquanto a bolinha recebeu um impulso de $2mv\cos{\theta}$ para cima, a parede recebeu um impuso igual, mas para baixo. Alguns alunos podem acabar esquecendo desse fato pois consideramos que a parede fica parada, mas ela troca momento com a bolinha durante a colisão.

c)

A energia da partícula pode ser calculada com a expressão da energia cinética:

$E = \dfrac{1}{2}mv^2$

Mas lembre-se que $p=mv$, então:

$E=\dfrac{1}{2}pv$

$\boxed{p=\dfrac{2E}{v}}$

d)

Esse é o item mais difícil do problema e é necessário que o leitor tome alguns cuidados. Não é muito prático conservar o momento linear ao longo das direções horizontal e vertical pois a geometria não é favorável. Ao invés disso, vamos conservar o momento linear ao longo da direção radial (perpendicular) e tangencial. Outro detalhe importante é que $\theta$ não necessariamente é igual a $\theta '$ nessa parte do problema.

Vamos começar pela direção radial. A partícula se aproxima com velocidade $v$, então o momento ao longo dessa direção é, inicialmente:

$p_r=mv\cos{\theta}$

Depois da colisão, a partícula se move com velocidade $v'$ e o sabre de luz (cilindro) recua com velocidade $u$. Logo, o momento final é:

$p_r = Mu-mv \cos{\theta'}$

Muito cuidado com os sinais! Leia com atenção para garantir que não trocou nenhum. Igualando os momentos radiais antes e depois, temos:

$mv\cos{\theta}= Mu-mv'\cos{\theta '}$

Agora vamos fazer a mesma análise na direção tangencial. Porém, note que não há nenhuma força atuando nessa direção, assim como vimos no item a. Assim, temos inicialmente:

$p_t = mv\sin{\theta}$

Após a colisão:

$p_t = mv'\sin{\theta '}$

Logo, temos as relações:

$\boxed{mv\sin{\theta}=mv'\sin{\theta '}}$

$\boxed{mv\cos{\theta}= Mu-mv'\cos{\theta '}}$

e)

Assumindo que a colisão é elástica, temos que $e=1$. Portanto, precisamos analisar as velocidades antes e depois da colisão, ao longo da direção radial, que é onde as forças estão atuando.

A velocidade de aproximação é:

$v_{r0} =v\cos{\theta}$

A velocidade de afastamento é:

$v_{rf} =u+v'\cos{\theta '}$

Logo:

$e=1=\dfrac{u+v'\cos{\theta '}}{v\cos{\theta}}$

$v\cos{\theta}=u+v'\cos{\theta '}$

Agora, basta resolver as equações. Depois de um pouco de álgebra, obtemos:

$\boxed{\tan{\theta '}=\left( \dfrac{M+m}{M-m}\right) \tan{\theta}}$

Quando $M>>m$, podemos usar a aproximação $M+m \approx M-m \approx M$, logo $\tan{\theta} =\tan{\theta '}$.

f)

Como se trata de um problema de estimativa, o objetivo é apenas encontrar a ordem de grandeza da resposta real (a potência de 10 mais próxima), então vamos considerar uma colisão normal.

Encontramos uma expressão que relaciona energia e momento de uma partícula no item c. Assim, o momento de uma partícula é:

$p = \dfrac{2E}{v}$

$\Delta p = \dfrac{4E_0}{v}$

No nosso caso, estamos considerando partículas de luz (fótons), que se movimentam na velocidade da luz $c=3\cdot 10^8 \, \textrm{m.s}^{-1}$. Além disso, existem $N=2\cdot 10^{28}$ fótons em um disparo, de acordo com o enunciado

$\Delta p_{tot} = \dfrac{4NE_0}{c}$

Logo, o impulso fornecido ao sabre de luz vale:

$\boxed{i \approx 80 \,\textrm{kg.m.s}^{-1}}$

a)

(Demonstração)

b)

O momento veio da parede. Veja a solução para ver a explicação completa.

c)

$\boxed{p=\dfrac{2E}{v}}$

d)

$\boxed{mv\sin{\theta}=mv'\sin{\theta '}}$

$\boxed{mv\cos{\theta}= Mu-mv'\cos{\theta '}}$

e)

$\boxed{\tan{\theta '}=\tan{\theta}\dfrac{M+m}{M-m}}$

f)

$\boxed{i \approx 80 \, \textrm{kg.m.s}^{-1}}$