Soluções Física - Semana 167

Calorimetria

Primeiro de tudo, precisamos calcular a variação de temperatura sofrida por cada esfera. Como cada uma recebe calor $Q$ e massa $m$, temos:

$Q = m c \Delta T \rightarrow \Delta T = \dfrac{Q}{m c}$

E calculando a dilatação térmica de cada um:

$\Delta R = R \gamma \Delta T \Rightarrow \Delta R = \dfrac{\gamma Q R}{m c}$

Como cada uma sofre a msm dilatação que ajuda as se aproximar, a distância que elas se aproximam é igual ao dobro da dilatação, portanto:

$\boxed{\Delta L = \dfrac{2 \gamma Q R}{m c}}$

$\boxed{\Delta L = \dfrac{2 \gamma Q R}{m c}}$

Termometria

Precisamos lembrar que quando definimos uma escala termométrica, ela é feita utilizando 2 pontos quaisquer e a variação deste, por exemplo:

Se quisermos definir a escala Briba nós só precisamos de dois pontos e números pra eles, por exemplo, poderia ser $54 \, ^\circ \textrm{B}$ no ponto de fusão de etanol $- 115 ^\circ \textrm{C}$ e $140 \, ^\circ \textrm{B}$ no ponto de fusão de etanol $78,5 ^\circ \textrm{C}$. E daí as fórmulas de conversão para Celsius ficariam: $\dfrac{B - 54}{140 - 54} = \dfrac{C - 54}{78,5 - (-115)}$.

Saindo daí, vamos fazer as fórmulas de conversão entre as temperaturas do termômetro defeituoso e o Celsius, utilizando a mesma lógica. As temperaturas de referência são o $5 ^\circ \textrm{C}$ reais e $10 ^\circ \textrm{C'}$ falsos e o $45 ^\circ \textrm{C}$ reais e $30 ^\circ \textrm{C'}$ falsos, portanto

$\dfrac{C' - 10}{30 - 10} = \dfrac{C - 5}{45 - 5}$

Fazendo $C = C' = T$, temos:

$\dfrac{T - 10}{20} = \dfrac{T - 5}{40} \Rightarrow 2 \cdot (T - 10) = T - 5$

$\boxed{T = 25 \, ^\circ \textrm{C}}$

$\boxed{T = 25 \, ^\circ \textrm{C}}$

Hidrodinâmica

(a) Quando um pacote ar passa do exterior para o interior da casa (subscritos 2 e 1, respectivamente), o trabalho feito sobre ele é igual a $p_2 V_2$, e o trabalho feito por ele é igual a $p_1 V_1$. Assim, o trabalho total feito sobre ele é $p_2 V_2 - p_1 V_1$. Como o ar é tratado como incompressível, o volume desse pacote não pode variar, i.e. $V_1 = V_2 = V$. Ainda, como não há troca de calor, o trabalho calculado deve ser igual à variação de energia do pacote de ar:

$p_2 V- p_1 V = \rho V c_v (T_1 - T_2) + \dfrac{1}{2} \rho V (v_1^2 - v_2^2) + \rho V g (z_1 - z_2)$

$p_1 + \rho c_v T_1 + \dfrac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2+ \rho c_v T_2+\dfrac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g z_2$

$\boxed{p + \rho c_v T + \dfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z=cte.}$

(b) Numa região muito distante do tubo, devemos ter que a velocidade do ar é nula, $v_2 = 0$. Ainda, como o tubo é horizontal, $z_1 = z_2$. Assim,

$p_1 + \rho c_v T_1 + \dfrac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \rho c_v T_2$

Como o tubo possui área de secção reta $A$ constante, temos, pela segunda lei de Newton,

$(p_1 - p_2) A = (\rho v_2^2 - \rho v_1^2) A \Rightarrow p_2 - p_1 =\rho v_1^2$

Substituindo na equação anterior:

$\boxed{v_1 = v = \sqrt{2 c_v ( T_1- T_2)} }$

(c) Substituindo os valores do enunciado:

$v = \sqrt{2 \cdot 750 \cdot 20} = \sqrt{3000} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \boxed{52,36 \, \mathrm{m \cdot s^{-1}}}$

(a) $\boxed{p + \rho c_v T + \dfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z=cte.}$

(b) $\boxed{v_1 = v = \sqrt{2 c_v ( T_1- T_2)} }$

(c) $\boxed{v = 52,36 \, \mathrm{m \cdot s^{-1}}}$