Soluções Física - Semana 20

Iniciante:

a)
Sabemos que,para lançamentos oblíquos no vácuo:

$y(x)=tg(\theta)x-\frac{gx^2 sec^2(\theta)}{2(v_{o})^2}$

Simplificando:

$x^2-\frac{2(v_{o})^2 sen(\theta)cos(\theta)}{g}x+\frac{2(v_{o})^2 cos^2 (\theta). y}{g}=0$

Obs: $y=-H$

Logo,por bhaskara:

$x=\frac{(v_{o})^2 sen(\theta) cos(\theta)}{g}+\sqrt[2]{(\frac{(v_{o})^2 sen(\theta) cos(\theta)}{g})^2+\frac{2v_{o}H cos^2 (\theta)}{g}}$

b)
De novo,simplifiquemos a equação para os lançamentos:

$\frac{2(v_{o})^2 y}{g}=\frac{2(v_{o})^2 x tg(\theta)}{g} -x^2 tg^2 (\theta) -x^2 \Rightarrow x^2 tg^2 (\theta) - \frac{2(v_{o})^2 x tg(\theta)}{g}+x^2 +\frac{2 (v_{o})^2 y}{g}=0$

Perceba que a função não tem raíz para alguns (x,y),nos valores limite deles temos os pontos da parábola de segurança,que determina os pontos máximos que a partícula pode alcançar dado um par $(v_{o},g)$

Pela condiçãos de existência das raízes:

$b^2>_4ac$

Na parábola de segurança:

$b^2=4ac$

Plotando tudo e simplificando:

$(\frac{(v_{o})^2}{g})^2=x^2+\frac{2 (v_{o})^2 y}{g}$

Simplificando mais:

$x=\frac{(v_{o})^2 \sqrt[2]{1-\frac{2gy}{(v_{o})^2}}}{g}$

Mas no vertíce $tg(\theta)=-\frac{b}{2a}$

Ou seja,simplificando tudo:

$tg(\theta)=\frac{v_{o}}{\sqrt[2]{(v_{o})^2+2gH}}$

Intermediário:

Pelo enunciado sabemos que a função de onda deve se anular em 0 e a,então seu comprimento de onda é análogo ao de uma onda estacionária numa corda com extremidades fixas:

$\lambda=\frac{2L}{n}$

Com n inteiro

Usando:

$E=\frac{p^2}{2m}$ (Partícula Massiva)

$E=\frac{hc}{\lambda}$ (Foton)

$p=\frac{h}{\lambda}$

Tal que:

$E_{foton}=\frac{nhc}{2L}$

$E_{Massiva}=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}$

Avançado:

Em três dimensões:

$E(n_{x},n_{y},n_{z})=\frac{((n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2)h^2}{8ma^2}$

Mas:

$P=-\frac{dE}{dV}$

$V=a^3$

Logo:

$P=\frac{2E}{3V}$

Mas,o sistema respeitando a equação dos gases ideais:

$PV=NKT$

Tendo um elétron preso na caixa,N=1,usando os resultados obtidos e plotando:

$T(n_{x},n_{y},n_{z})=\frac{h^2 ((n_{x})^2 +(n_{y})^2 +(n_{z})^2 )}{12ma^2 k}$