Iniciante
Sabemos que a velocidade de uma onda se propagando numa corda é dada pela relação de Taylor:
v=2√Tμ
O procedimento então é calcular a tração, pois com ela temos a velocidade,e,assim,o tempo gasto no percuso.
O certo a se fazer na questão seria considerar a tração como sendo o peso de corda pendurada mais o peso da massa,contudo,não nos foi informado o quanto da corda estava pendurado,o que deixa a questão confusa,contudo,caso queira,considere a parte pendurada da corda como sendo uma fração x del . Considere a corda com comprimento L
Assim:
T=Peso(Corda Pendurada)+Peso(Massa)=Mg+μgLx (1)
Sabemos também que:
v=λf (2)
Mas, se trata de uma corda com extremidades fixas, assim temos também que o tamanho da corda deve ser um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda.
nλ2=L′==>λ=2L′n
Mas o L que usamos(Perceba que usei L' na equação) é só entre as extremidades, mas já que estamos considerando que uma fração x está pendurada, uma fração 1−x está entre as extremidades, então:
λ=2L(1−x)n (3)
Isolando f em (2) e substituindo com as outras equações:
f=n2√Mg+μgLx2L(1−x)2√μ
Se você considerou a contribuição da corda e o tanto de corda pendurado, você acha:
f=2√Mgμn2L
Intermediário
Para resolver essa questão precisamos apenas de um conhecimento básico de efeito Doppler, e precisamos também saber o que é uma faixa de frequências. Uma faixa de frequências é uma região de frequências que o sistema ocupou, não necessariamente por inteiro. Mas, pensemos, se pegarmos a maior e menor frequência teremos então a faixa, pois todos valores intermediários estão entre esses dois valores.
No começo do movimento a ambulância está se aproximando de você, ou seja, a frequência pra você parece maior do que a original, então a ambulância passa por você e começa a se afastar, mudando de vez a situação, pois agora a frequência vai parecer menor do que a original.
Sabemos por efeito Doppler que:
faparente=fVsom+VobservadorVsom−Vfonte
V é uma velocidade de aproximação, ou seja , Vobservador é a velocidade do observador na direção em que se aproxima da fonte, e o análogo serve para a fonte. A velocidade do nosso observador é sempre zero, mas a velocidade da fonte aumenta linearmente com o tempo.
A frequência aparente será máxima quando a ambulância tiver máxima velocidade de aproximação, ou seja, quando a ambulância estiver "encostada" no observador. A frequência aparente será mínima quando a velocidade de "afastamento" (Inverso aditivo da velocidade de aproximação) for máxima, ou seja, em +xo,pois quando a ambulância atravessa você ela começa a continuamente começa a se afastar mais rápido e assim emitir frequências cada vez menores para você, e o mais distante possível para você escutar é em xo,pois a partir daí a intensidade do som é abaixo do perceptível ao ser humano.
Agora, com a parte conceitual já discutida, calculemos as frequências máxima e mínima.
Máxima:
No momento em que sua frequência for máxima, a ambulância estará "encostada" no observador. Vamos calcular sua velocidade nesse ponto usando Torricelli.
v2=v2o+2aΔx
v2=2axo−−>v=2√2axo
Mínima:
No momento em que sua frequência for mínima a ambulância estará o mais distante possível para ser escutada, ou seja xo
v2=v2o+2aΔx=2a[xo−(−xo)]=4axo
v=22√axo
Ou seja:
fmaxima=fvsvs−2√2axo
fminima=fvsvs−(−22√axo=fvsvs+22√axo
e a largura de frequência é:
Δf=fmaxima−fminima=(2√2+1)2√2axovs(vs−2√2axo)(vs+22√axo)
Avançado
A função de onda do sistema pode ser expandida como a superposição da função de vários estados estacionários:
ψ=∑∞n=0cnψn
Em que ψn é a função de onda do n-ésimo estado estacionário,e cn é um coeficiente de normalização.
Multiplicando dos dois lados por ψm e integrando em x temos:
∫+∞−∞ψψmdx=∑∞n=0cn∫+∞−∞ψmψn
Pela condição de normalização temos que:
∫+∞−∞ψ2ndx=1
E pela de ortogonalidade:
∫+∞−∞ψnψm=0 (m diferente de n)
E essas duas condições podem ser resumidas como:
∫+∞−∞ψnψm=δij
Em que δij é a Delta de Kronecker.
A probabilidade de encontrar a partícula no estado n é a integral da componente n da função de onda no espaço, nesse caso:
Pn=∫+∞−∞c2nψ2n=c2n
Agora basta efetuarmos o cálculo de c0,que é o c do estado fundamental do novo oscilador,para isso vamos escolher o instante t=0, pois sabemos a função de onda do sistema nesse instante (É a função de onda do sistema antes da mudança de frequência, pois a função de onda é contínua).
Sabemos que a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônica de frequência ω é:
ψo(x,ω)=(mωπℏ)14e−mωx22ℏ
Assim, c0 é:
co=∫+∞−∞ψ0(ω)ψo(ηω)dx=∫+∞−∞(mωx2πℏ)14(mηωx2πℏ)14e−mx2(ω+ηω)2ℏdx
Sabendo que:
∫+∞−∞e−bx2dx=2√πb
c0=212η14(η+1)12
e
Po=c2o=2η12η+1=22√η+12√η
Esse resultado tem muitas propriedades interessantes, veja que ele é simétrico entre η e seu inverso multiplicativo, ou seja, não importa se aumentamos a frequência ou diminuímos ela por um fator, a probabilidade da partícula manter a energia mínima é a mesma, outra propriedade é uma óbvia, que para η=1 a probabilidade é 100%,se nosso resultado não demonstrasse isso, com certeza estaria errado. Perceba também que nosso resultado é M.G por M.A, ou seja, menor ou igual a um, como qualquer boa probabilidade.