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Soluções Física - Semana 28

Iniciante

Sabemos que a velocidade de uma onda se propagando numa corda é dada pela relação de Taylor:

v=2Tμ

O procedimento então é calcular a tração, pois com ela temos a velocidade,e,assim,o tempo gasto no percuso.

O certo a se fazer na questão seria considerar a tração como sendo o peso de corda pendurada mais o peso da massa,contudo,não nos foi informado o quanto da corda estava pendurado,o que deixa a questão confusa,contudo,caso queira,considere a parte pendurada da corda como sendo uma fração x del . Considere a corda com comprimento L

Assim:

T=Peso(Corda Pendurada)+Peso(Massa)=Mg+μgLx (1)

Sabemos também que:

v=λf (2)

Mas, se trata de uma corda com extremidades fixas, assim temos também que o tamanho da corda deve ser um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda.

nλ2=L==>λ=2Ln

Mas o L que usamos(Perceba que usei L' na equação) é só entre as extremidades, mas já que estamos considerando que uma fração x está pendurada, uma fração 1x está entre as extremidades, então:

λ=2L(1x)n (3)

Isolando f em (2) e substituindo com as outras equações:

f=n2Mg+μgLx2L(1x)2μ

Se você considerou a contribuição da corda e o tanto de corda pendurado, você acha:

f=2Mgμn2L

Intermediário

Para resolver essa questão precisamos apenas de um conhecimento básico de efeito Doppler, e precisamos também saber o que é uma faixa de frequências. Uma faixa de frequências é uma região de  frequências que o sistema ocupou, não necessariamente por inteiro.  Mas, pensemos, se pegarmos a maior e menor frequência teremos então a faixa, pois todos valores intermediários estão entre esses dois valores.

No começo do movimento a ambulância está se aproximando de você, ou seja, a frequência pra você parece maior do que a original, então a ambulância passa por você e começa a se afastar, mudando de vez a situação, pois agora a frequência vai parecer menor do que a original.

Sabemos por efeito Doppler que:

faparente=fVsom+VobservadorVsomVfonte

V é uma velocidade de aproximação, ou seja , Vobservador é a velocidade do observador na direção em que se aproxima da fonte, e o análogo serve para a fonte. A velocidade do nosso observador é sempre zero, mas a velocidade da fonte aumenta linearmente com o tempo.

A frequência aparente será máxima quando a ambulância tiver máxima velocidade de aproximação, ou seja, quando a ambulância estiver "encostada" no observador. A frequência aparente será mínima quando a velocidade de "afastamento" (Inverso aditivo da velocidade de aproximação) for máxima, ou seja, em +xo,pois quando a ambulância atravessa você ela começa a continuamente começa a se afastar mais rápido e assim emitir frequências cada vez menores para você, e o mais distante possível para você escutar é em  xo,pois a partir daí a intensidade do som é abaixo do perceptível ao ser humano.

Agora, com a parte conceitual já discutida, calculemos as frequências máxima e mínima.

Máxima:

No momento em que sua frequência for máxima, a ambulância estará "encostada" no observador. Vamos calcular sua velocidade nesse ponto usando Torricelli.

v2=v2o+2aΔx

v2=2axo>v=22axo

Mínima:

No momento em que sua frequência for mínima a ambulância estará o mais distante possível para ser escutada, ou seja xo

v2=v2o+2aΔx=2a[xo(xo)]=4axo

v=22axo

Ou seja:

fmaxima=fvsvs22axo

fminima=fvsvs(22axo=fvsvs+22axo

e a largura de frequência é:

Δf=fmaximafminima=(22+1)22axovs(vs22axo)(vs+22axo)

Avançado

A função de onda do sistema pode ser expandida como a superposição da função de vários estados estacionários:

ψ=n=0cnψn

Em que ψn é a função de onda do n-ésimo estado estacionário,e cn é um coeficiente de normalização.

Multiplicando dos dois lados por ψm e integrando em x temos:

+ψψmdx=n=0cn+ψmψn

Pela condição de normalização temos que:

+ψ2ndx=1

E pela de ortogonalidade:

+ψnψm=0 (m diferente de n)

E essas duas condições podem ser resumidas como:

+ψnψm=δij

Em que δij é a Delta de Kronecker.

A probabilidade de encontrar a partícula no estado n é a integral da componente n da função de onda no espaço, nesse caso:

Pn=+c2nψ2n=c2n

Agora basta efetuarmos o cálculo de c0,que é o c do estado fundamental do novo oscilador,para isso vamos escolher o instante t=0, pois sabemos a função de onda do sistema nesse instante (É a função de onda do sistema antes da mudança de frequência, pois a função de onda é contínua).

Sabemos que a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônica de frequência ω é:

ψo(x,ω)=(mωπ)14emωx22

Assim, c0 é:

co=+ψ0(ω)ψo(ηω)dx=+(mωx2π)14(mηωx2π)14emx2(ω+ηω)2dx

Sabendo que:

+ebx2dx=2πb

c0=212η14(η+1)12

e

Po=c2o=2η12η+1=22η+12η

Esse resultado tem muitas propriedades interessantes, veja que ele é simétrico entre η e seu inverso multiplicativo, ou seja, não importa se aumentamos a frequência ou diminuímos ela por um fator, a probabilidade da partícula manter a energia mínima é a mesma, outra propriedade é uma óbvia, que para η=1 a probabilidade é 100%,se nosso resultado não demonstrasse isso, com certeza estaria errado. Perceba também que nosso resultado é M.G por M.A, ou seja, menor ou igual a um, como qualquer boa probabilidade.