Soluções Física - Semana 30

Iniciante

Para encontrar a deformação precisamos apenas usar os dados. Mexendo com a definição de Módulo de Young temos:

$\Delta l=\frac{Fl}{AY}$

A força no bloco é uma reação da normal no bloco superior, mas esse normal tem o valor igual a peso dele, que é $mg$, a área da superfície em contato é $a^2$, área de um quadrado...O comprimento inicial do bloco era a, logo:

$\Delta l=\frac{Mg}{aY}$ (É a deformação em módulo, no caso a deformação é negativa, pois o bloco comprime)

Intermediário

A velocidade do bloquinho é dada por $\omega l$, em que l é o raio da sua trajetória instantânea, e $\omega$ é sua velocidade angular instantânea. Tendo o bloco girado um ângulo $\theta$ de corda na polia, o novo comprimento de corda é:

$l=l_{o}-R\theta$ (Pois $R \theta$ é o comprimento de corda enroscada,igual ao comprimento de corda preso)

A energia do sistema se conserva,e tendo o bloco apenas energia cinética,ela se conserva, e como a energia cinética se conserva, a velocidade se conserva ao longo de todo o movimento.

$v=constante=\omega l=\omega (l_{o}-R\theta)$

Sabemos que $\omega=\frac{d\theta}{dt}$, assim podemos dizer que:

$v=\frac{d\theta}{dt} (l_{o}-R\theta) --> vdt=l_{o}d\theta-R\theta d\theta$

Integrando dos dois lados nos limites ($0$ até $t$) e ($0$ até $\theta$), temos:

$vt=l_{o}\theta-\frac{R\theta^2}{2}$

Quando a corda tiver totalmente enroscada teremos l=0;logo:

$l=l_{o}-R\theta_{crit}=0 --> \theta_{crit}=\frac{l_{o}}{R}$

$vt=l_{o}\theta_{crit}-\frac{R\theta_{crit}^2}{2}=\frac{l_{o}^2}{2R}$

$t=\frac{l_{o}^2}{2vR}$

Avançado

"Como a energia potencial de um sistema termodinâmico U(S,V,N) é uma função homogênea de suas variáveis, tomando a transformada de legendre em relação a todas devemos achar uma função identicamente nula."

Vamos explicar, primeiro, o que é uma transformada de Legendre. Basicamente,numa transformada de Legendre em relação a x, fazemos uma função que depende explicitamente de x começar a depender explicitamente da derivada de x. Veja:

$L[f(x)]=f(x)-f'(x).x$

f'(x) é a tangente da reta que tangencia a função desse ponto,a transformada de legendre basicamente é o valor do coeficiente linear de f(x) caso esta fosse uma reta. Para verificar que a função é agora explicita de f'(x), veja a seguir:

$d(f(x))=f'(x)dx$ (Função explícita de x, se x não variar f(x) não varia)

$d(L(f(x))=d(f(x)-f'(x)x)=f'(x)dx-f'(x)dx-df'(x) x=-xdf'(x)$ (Função explícita de $f'(x)$, se $f'(x)$ não variar, $L[f(x)]$ não varia)

Considere agora que temos a função energia potencial, sabemos que:

$\frac{\partial U}{\partial S}=T$

$\frac{\partial U}{\partial V}=-p$

$\frac{\partial U}{\partial N}=\mu$

Sabemos que energia potencial é uma propriedade extensiva, ou seja:

$U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)=\lambda U(S,V,N)$

Se tirarmos a derivada parcial em relação a $\lambda$ dos dois lados temos:

$\frac{\partial U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda S)} S +\frac{\partial U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda V)} V+\frac{\partial U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda N)} N=U(S,V,N)$

Faça $\lambda=1$, e teremos:

$TS-pV+\mu N=U(S,V,N)$

E a energia livre de Gibbs $G(T,p,N)$

$G(T,p,N)=U(S,V,N)+pV-TS=\mu N$

$\mu=\frac{G(T,p,N)}{N}$

Assim, temos que o potencial químico do gás é sua energia livre de gibbs por molécula, ou uma definição equivalente trataria como energia por mol, no caso apenas mudaríamos a definição de N.

Poderíamos achar com a mesma ideia da primeira fase ali em cima,olhe:

$L[U(S,V,N)]=U(S,V,N)-TS+pV-\mu N=0$

A transformada de legendre para três varíaveis leva a uma função identicamente nula.