Soluções Física - Semana 38

Iniciante:

1- Sabe-se que a resistência do ar em uma peça aberta de papel é alta, fazendo com qque este caia lentamente (tenha uma baixa velocidade terminal). Uma explicação um pouco mais detalhada seria que, a força de resitêmcia exercida pelo ar é proporcional a velocidade do objeto, logo quanto mais rapido este estiver, maior tal força, e quando esta igula o peso do mesmo, ele para de acelerar. Assim se torna visível que, para que uma das peças de papel caia rapidamente, com velocidade em momento algum constante (acelerando) ela não pode estar num meio que ofereça resistencia ao seu movimento, ou seja, ela está no vácuo, tendo sido retirado o ar de seu tubo; e já a outra, que cai lentamente e com velocidade constante, deve estar em um meio que gere resitência ao seu movimento, como o ar. Para que seja gasta menos energia na confecção do equipamento, ou seja, para que se realize menos trabalho no processo, deve se retirar o ar do menor número de tubos tal que os fenômenos observados ainda sejam os descritos. Não é necessário que a bolinha de vidro esteja em vácuo pois sua massa é alta em relação a sua área efetiva (área que colide com as moléculas do meio resistivo), dada as dimenções da força de resistência para as velocidades atingidas (baixa). Assim sendo, temos que uma das peças de papel está no vácuo e que a outra e a bolinha de vidro não estão.

2- Primeiramente é necessário se realizar a converção das medidas para uma mesma unidade:

$45cm=0.45m$

$100$ milisegundos equivale a $0.1$ segundo.

Temos pela equação de movimento uniformemente acelerado:

$H=\frac{at^2}{2}$ $\rightarrow$ $0.8=\frac{gt_{1}^2}{2}$

$0.45=\frac{gt_{2}^2}{2}$

Nos foi dado que:

$\delta t=0.1$

E por tal, isolamos $t$ nas equações acima, obtendo:

$t_{1}=\sqrt{\frac{2(0.8)}{g}}$ e $t_{2}=\sqrt{\frac{2(0.45)}{g}}$

Juntando as equações, temos que:

$\sqrt{\frac{2(0.8)}{g}}-\sqrt{\frac{2(0.45)}{g}}=0.1$ $\rightarrow$ $\frac{\sqrt{1.6}-\sqrt{0.9}}{0.1}=\sqrt{g}$ .

Neste ponto você poderia resolver com uma calculadora, valores aproximados ou ajustando algebricamente pra que pareça algo mais belo. Para o terceiro método, elevamos os dois lados ao quadrado:

$\frac{1.6+0.9-2(\sqrt{1.44})}{0.01}=g$ $\rightarrow$ $g=100(2.5-2(1.2))$

E no fim obtemos que:

$g=10.00 \frac{m}{s^{2}}$

Intermediário:

Situação física: a bolinha desliza pelo hemisfério, havendo ate o ponto de separação, uma normal entre eles. A energia da bolinha é conservada, ou seja, sua pontecial se transforma se dissipações em cinética, e como o raio da bolinha é muito pequeno, podemos desprezar a energia cinética rotacional e falar que a cinética é integralmente translacional. No sistema temos três "forças": o peso da bolinha, a normal e a resultante centrípeta, sendo que o ponto em que eles perdem contato é o mesmo que a normal se reduz a zero. A figura a baixo ilustra a situação:

Figura 1: Plot de forças - bolinha e hemisfério

Assumindo que a bolinha tenha percorrido um ângulo $\theta$ do hemisfério, temos:

1- Conservação da energia:

$mg\delta R=\frac{mv^2}{2}$

onde $\delta R$ é a diferença de altura da bolinha. Logo:

$v=\sqrt{2gR(1-\cos{\theta})}$

2- Forças:

$F_{p}\cos{\theta}-F_{n}=F_{c}$

sendo

$F_{c}=\frac{mv^2}{R}$

$F_{p}=mg$

No ponto de perda de contato:

$F_{n}=0$ $\rightarrow$ $F_{p}\cos{\theta}=F_{c}$ $\rightarrow$ $m\frac{2gR(1-\cos{\theta})}{R}=mg\cos{\theta}$

Deste modo obtemos:

$2-2\cos{\theta}=\cos{\theta}$ $\rightarrow$ $\cos{\theta}=\frac{2}{3}$ ;

Logo a altura na qual a bolinha perde contato com o hemisfério:

$H=R\cos{\theta}=\frac{2R}{3}$ .

Avançado:

Situação física: Para as bolas de tênis que ricocheteiam, por ser uma colisão elástica, podemos dizer que sua velocidade de aproximação, em relação ao carro, é igual a de afastamento, e isso será importante, pois quando formos olhar a variação de momento da bola, temos de considerar que sua velocidade inverterá de sentido. Além disso, temos de lembrar que por mais que se atire bolas a um $\delta$ , como o carro se move, elas chegam a ele em um $\delta_{2}$ . Para o segundo caso, como as bolinhas não voltam, temos uma diferente variação do momento delas e também temos que a massa do carro alimentará, numa faixa de $4\delta_{2}$ .

Caso 01:

Sabemos que:

$F=\frac{dP}{dt}$

sendo $P$ o momento e $t$ o tempo de colisão. Adotando $u$ como a velocidade do carro, temos:

$F=\frac{dP}{dt}=2\delta_{2}(v-u)$

onde o fator multiplicativo $2$ se da pela inversão da velocidade. E, por efeito Doppler:

$\delta_{2}=\delta\frac{(v-u)}{v}$ .

Tambem sabemos que $F=M\frac{du}{dt}$ ; logo:

$M\frac{du}{dt}=2\delta\frac{(v-u)^2}{v}$ $\rightarrow$ $\frac{du}{(v-u)^2}=\frac{2\delta dt}{Mv}$

Resolvendo as integrais obtemos:

$u_{(t)}=\frac{\frac{2\delta tv}{M}}{1+\frac{2\delta t}{M}}$

E sabendo que temos a distância percorrida pelo carro com

$dX_{1}=\frac{du}{dt}$

chegamos a:

$X_{1}(t)=\frac{M}{2\delta}v(1+\frac{2\delta t}{M})-\frac{M}{2\delta}\ln{(1+\frac{2\delta t}{M})}+CTE$

onde $CTE$ é a constante de integração, a qual, devido a em $t=0\rightarrow X=0$ sabemos que corresponde a $-\frac{M}{2\delta}v$ .

Logo:

$X_{1}(t)=vt-\frac{M}{2\delta}\ln{(1+\frac{2\delta t}{M})}$

Caso 2:

Para o segundo caso, a massa do carro varia. Temos que a variação da massa se da por:

$\frac{dm}{dt}=4\delta_{2}=4\delta\frac{v-U}{v}$

onde $U$ é a velocidade do segundo carro. E temos que:

$m\frac{dP}{dt}=\frac{4\delta(v-U)^2}{v}$

Dividindo a primeira equação pela segunda:

$\frac{dm}{m}=\frac{dU}{v-U}$ ;

Integrando, obtemos que:

$m=\frac{Mv}{v-U}$

e substituindo $m$ na primeira equação:

$\frac{dU}{(v-U)^3}=\frac{4\delta dt}{Mv^2}$

integrando e aplicando os limites ( $t$ indo de $0$ a $t$ e $u$ indo de $0$ a $u$ ):

$\frac{4\delta t}{Mv^2}=\frac{1}{2(v-U)^2}-\frac{1}{2v^2}$ $\rightarrow$ $U_{(t)}=v-\frac{v}{\sqrt{1+\frac{8\delta t}{M}}}$ ;

E por fim, tendo que a distância percorrida pelo segundo carro é a integral de $\frac{dU}{dt}$ , temos:

$X_{2}(t)=vt-\frac{Mv}{4\delta}\sqrt{1+\frac{8\delta t}{M}}+CTE$

sendo que para $t=o$ temos $X_{2}=0$ , tendo

$CTE=\frac{Mv}{4\delta}$

Obtemos no fim:

$X_{2}(t)=vt-\frac{Mv}{4\delta}\sqrt{1+\frac{8\delta t}{M}}+\frac{Mv}{4\delta}$

Um bom método para analizar quem ganharia a corrida em função do comprimento da pista seria plotando ambas funções em um gráfico. Também podemos analiza-las:

$X_{1}(t)-X_{2}(t)=\frac{Mv}{4\delta}\sqrt{1+\frac{8\delta t}{M}}-\frac{Mv}{4\delta}-\frac{M}{2\delta}\ln{(1+\frac{2\delta t}{M})}$ .

Para tempos pequenos, tal que $\frac{8\delta t}{M}<<1$ , pelas aproximações temos:

$X_{1} (t)-X_{2}(t)=-2\frac{\delta t}{M}$

logo para um comprimento pequeno da pista (alcançado em um tempo curto), o segundo carro vence.

E é fácil ver que, por $X_{1}(t)$ ter seu "decaimento" em $t$ na forma de $\ln$ e $X_{2}(t)$ em uma raíz com $t$ , para tempos grandes, $X_{1}(t)>X_{2}(t)$ ; logo para grandes comprimentos da pista, o primeiro carro chega ao fim primeiro.