Soluções Física - Semana 39

Iniciante

Situação física: sabemos que força tem dimensão de newtons, que equivale a metros vezes massa por tempo ao quadrado. Logo é fácil ver que $\gamma$ tem dimensão de newtons por metro, ou seja, de massa por tempo ao quadrado. Sabemos que a gota de desprenderá da torneira quando a força que a segura (tensão superficial) for igual a que a puxa para baixo (peso). Assim temos:

$\gamma 2r\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho g$ $\rightarrow$ $\gamma=\frac{2}{3r}R^3\rho g$

Para o segundo caso temos:

$V=v t \pi r^{2}$

onde $V$ é o volume da gota e:

$\rho_{2} V g=2\pi r \gamma_{2}$

Logo o tempo decorrido da formação à desprendimento de um gota é:

$t=\frac{2}{rgv\rho}\gamma_{2}$

Intermediário

Situação física: temos que a luz percorrá distâncias distintas nos dois casos, sempre à mesma velocidade $c$. Logo:

$t_{1}=\frac{2h}{c}$

$t_{2}=\frac{2D}{c}$

onde:

$D=\sqrt{h^2 +(\frac{v t_{2}}{2})^2}$

Já que a luz gasta metade do tempo para subir e a outra para descer. Obtemos:

$t_{2}=\frac{2\sqrt{h^2 + (\frac{v t_{2}}{2})^2}}{c}$

E assim:

$t_{2}=\frac{t_{1}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Ps.: Esta é uma expressão extremamente usada nos estudos de relatividade, e por isso foi adotado: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$, afim de simplificar as expressões.

Avançado

Situação física: adotando um dos cilindros, vemos que há uma força de atrito (plano horizontal) que o impede de se afastar dos demais cilindros. Para termos que a força faz o menor ângulo, temos que ter a menor força horizontal, logo concluímos que neste caso a força de contato entre os dois cilindros de baixo é nula. Além disso percebemos que é necessário que haja força de atrito, de igual módulo a com o chão, entre os cilindros da base e o de cima, para o torque resultante nos cilindros da base ser nulo e eles não rotacionarem.

Adotemos:

$P=$peso de um cilindro;

$F_{a}=$força de atrito;

$F_{N}=$normal entre os cilindros da base e o de cima.

Temos então:

-Equilíbrio de forças na vertical:

$P+F_{N}\cos{30}+F_{a}\sin{30}=\frac{3P}{2}$

-Equilíbrio de forças na horizontal:

$F_{N}\cos{60}=F_{a}(1+\cos{30})$

Assim obtemos:

$F_{a}=\frac{P}{4+2\sqrt{3}}$

 Por fim:

$\tan{\theta}=\frac{F_{a}}{\frac{3P}{2}}$ $\rightarrow$ $\tan{\theta}=\frac{1}{3}(2+\sqrt{3})$.