Soluções Física - Semana 4

Iniciante (Solução por João Guilherme Madeira Araújo)

Pela terceira lei de Kepler

$$T^2 = r^3 \cdot \frac{4\pi^2}{GM} \Rightarrow \frac{M}{4\pi r^3} = \frac{\pi}{GT^2} \Rightarrow \frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3\pi}{GT^2}$$

Assim, como $\frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{M}{V} = d$

$$d = \frac{3\pi}{GT^2}$$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

Se o ponto próximo estiver a $90 \ cm$, a pessoa é hipermétrope. Para ler um livro, ela deve mantê-lo pelo menos a $90 cm$ da vista para poder focalizar as letras. Uma lente convergente, usada como lupa, permite que o livro fique mais perto do olho.
Quando o livro estiver a $25 \ cm$ do olho, queremos que a imagem formada pela lente convergente esteja a $90\ cm$ do olho. Como, como uma lente convergente forma uma imagem virtual e direita quando o objeto se encontra entre a lente e seu ponto focal, esperamos que a distância focal da lente seja maior que $25cm$. Então:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f}$
Com $p = 25 cm$ e $p' = -90 cm$. Daí $\frac{1}{f} = 2.89 m^{-1}$.

Logo, a potência da lente deve ser de $2.89$ dioptrias.

Avançado (Solução por Eduardo Reis)

Se a esfera metálica está aterrada, isto significa afirmar que o potencial dela é zero. Desta forma, afim de facilitar a resolução do problema, podemos substituir a esfera por uma carga imagem $Q$ (que é igual a carga induzida na esfera, sendo, portanto, a variável do problema) que dista $m$ do centro da esfera (conforme ilustra a figura abaixo) desde que seja anulado o potencial sobre a superfície esférica (equipotencial).

O potencial em um ponto $P_i$ (situado na reta que liga $q$ e $Q$) sobre a esfera é zero:

$$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{l-r} +\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r-m} = 0$$

$$q(r-m) = -Q (l-r) \ \ \ \ \ \ (1)$$

De forma análoga, em um ponto $P_{i'}$ diametralmente oposto a $P_i$:

$$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{l+r} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r+m} = 0$$

$$q(r+m) = -Q(l+r) \ \ \ \ \ \ (2)$$

Somando $(1)$ e $(2)$, temos:

$$2qr = -2Ql$$

Portanto:

$$Q = -\frac{r}{l}q$$