Soluções Física - Semana 49

Iniciante:

Situação Física: Sabemos que a energia nesse caso será conservada, logo o carrinho chegará a outra extremidade com velocidade igual a que saiu na primeira. Esta velocidade inicial é, novamente por conservação da energia, igual a potencial da mola. Também sabemos que ao chegar a segunda extremidade com velocidade, como nada prende o carrinho à pista, este será arremessado, de um ângulo de 45^0 graus, e assim temos um lançamento obliquo.

Resolução:

V_{f}=V_{i}

\frac{1}{2}mV_{i}^2=\frac{1}{2}kb^2\rightarrow V_{i}=b\sqrt{\frac{k}{m}}

Onde b é a deformação da mola. Para o lançamento:

V_{x}=V_{i}\cos{(45^0)}  e  V_{y}=V_{i}\sin{(45^0)}-gt

Representando x o eixo horizontal e y o vertical. No final da ascensão (subida) do carrinho, sua velocidade é zero. Logo, para o tempo de subida:

V_{y}=o\rightarrow \frac{V_{i}\sin{(45^0)}}{g}=t

Pela simetria do movimento, o tempo de subida é igual ao de descida, logo o tempo total de voo é duas vezes o tempo de subida:

T=2t=2\frac{V_{i}\sin{(45^0)}}{g}=\frac{2b\sqrt{\frac{k}{m}}\sin{(45^0)}}{g}

A distância horizontal percorrida, ou seja, a distancia a qual o carrinho volta a pista, se da por esse tempo multiplicado pela velocidade horizontal:

D=V_{x}T=\frac{1}{g}2V_{i}^2\cos{(45^0)}\sin{(45^0)}

Substituindo seno e cosseno (valores conhecidos):

sin{(45^0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}  e  \cos{(45^0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Por fim temos:

D=\frac{b^2k}{mg}

Intermediário:

Situação Física: Como há variação do momento da areia, há uma força sendo aplicada. Não consideramos nada devido a queda pois foi dada como de altura desprezível. Para vermos o quanto de energia vira calor, vemos o trabalho feito e o tanto de energia cinética ganha.

Resolução:

a) A força que deve ser aplicada para que ocorra tal variação do momento da areia:

F=\frac{dP}{dt}=\frac{mV}{dt}=\frac{dm}{dt}V+\frac{dV}{dt}

Para que não haja variação na velocidade V da esteira, temos:

\frac{dV}{dt}=0

\rightarrow F=\frac{dm}{dt}V=XV

b) Para o trabalho (por tempo) W feito:

\frac{dW}{dt}=F\frac{dD}{dt}=FV=XV^2

Onde D é a distância percorrida. E quanto a energia cinética ganha (por tempo) E, temos:

E=\frac{mV^2}{2}=\frac{dm}{dt}\frac{V^2}{2}+\frac{dV^2}{dt}\frac{m}{2}

Sendo a velocidade constante:

\frac{dV^2}{dt}\frac{m}{2}=0

Que nos leva a:

E=\frac{dm}{dt}\frac{V^2}{2}=X\frac{V^2}{2}

Para a energia perdida em calor:

Q=W-E=X\frac{V^2}{2}

Se pegarmos o tempo t no qual tenha caído uma massa M de areia sobre a esteira, temos que o calor absorvido será Q_{abs}Qt (Q, tal como W e E foram obtidos em energia por tempo). Assim temos:

t=\frac{M}{X}\rightarrow Q_{abs}=Qt=X\frac{V^2}{2}\frac{M}{X}=\frac{MV^2}{2}

E como sabemos que a temperatura ganha se dá pela divisão do calor (energia) fornecido pela massa e pelo calor específico. Logo:

T=\frac{Q_{abs}}{Mq}=\frac{V^2}{2q}

Avançado:

Situação Física: Temos uma situação de oscilações acopladas, logo traçamos primeiramente as forças em cada massa, olhando cuidadosamente as deformações de cada mola. Depois deduzimos uma solução da forma A\sin{(\omega t)}+B\cos{(\omega t)} para cada uma delas e olhamos casos como t=0 para acharmos as constantes. Após isso substituímos e temos as equações desejadas. se colocarmos que a massa de cima se move x_{1} e a de baixo x_{2}, ambos no sentido horário, temos de lembrar que a deformação da mola a direita da massa 1 se deforma um x_{2}-x_{1} e a da esquerda, x_{1}-x_{2}.

Resolução:

X1=A\sin{(\omega t)}+B\cos{(\omega t)}  e x_{2}=C\sin{(\omega t)}+D\cos{(\omega t)}

Tendo como a massa 1 a que sofre a força de arraste, chamemos sua aceleração de a_{1}. Adotemos x_{1}>x_{2} (não faz diferença na verdade):

a_{1}=\frac{1}{m}[k(x_{2}-x_{1})-k(x_{1}-x_{2})]-F\cos{(\omega_{d}t)}

De forma semelhante:

a_{2}=\frac{1}{m}[-k(x_{2}-x_{1})+k(x_{1}-x_{2})]

Para a velocidade da massa 1 temos:

\dot{x}_{1}=\omega A\cos{(\omega t)}-\omega B\sin{(\omega t)}

Como a velocidade inicial é nula, sabendo que seno de 0 é zero e cosseno de 0 é 1, temos:

\omega A=0\rightarrow A=0

De maneira análoga encontramos que C=0. Derivando duas vezes cada função para obter a1 e a2, e colocando \dot{B}=0 (valendo também para \dot{D}), chegamos a:

(I) - -\omega^2 B+2\frac{k}{m}B-2\frac{k}{m}D=F

(II) - -\omega^2 D+2\frac{k}{m}D-2\frac{k}{m}B=0

Usando (II) obtemos a relação:

B=D\frac{2\frac{k}{m}-2\omega^2}{2\frac{k}{m}}

Substituindo, chegamos a:

B=-F\frac{(2\frac{k}{m}-\omega^2)}{\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}

D=-2F\frac{k}{m\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}

E, por fim:

x_{1}=-F\frac{(2\frac{k}{m}-\omega^2)}{\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}\cos{(\omega t)}

x_{2}=-2F\frac{k}{m\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}\cos{(\omega t)}