Iniciante:

Situação Física: Sabemos que o momento linear, dado pelo produto da massa pela velocidade, deve se conservar. Além disso, nos é dada uma relação entre a energia inicial e a final, sendo esta $E=\frac{8}{10}E_{0}$.

Resolução: Conservação da momento:

(I) - $mv=MV+mv'\rightarrow v=v-\frac{M}{m}V$

Relação das energias:

(II) - $\frac{8}{10}E_{0}=E\rightarrow\frac{2}{5}mv^2=\frac{MV^2+mv'^2}{2}$

Aplicando (I) em (II):

$\frac{4}{5}mv^2=MV^2+mv^2-2MvV+\frac{M^2}{m}V^2$

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:

$V=\frac{2Mv+\sqrt{\frac{4M^2-Mm}{5}}}{2(M+\frac{M^2}{m})}$

ou

$V=\frac{2Mv-\sqrt{\frac{4M^2-Mm}{5}}}{2(M+\frac{M^2}{m})}$

Aplicando (I), obtemos $v'$:

$v'=v-\frac{M}{m}\frac{2Mv+\sqrt{\frac{4M^2-Mm}{5}}}{2(M+\frac{M^2}{m})}$

ou

$v'=v-\frac{M}{m}\frac{2Mv-\sqrt{\frac{4M^2-Mm}{5}}}{2(M+\frac{M^2}{m})}$

Por fim, se $M>>m$, podemos dizer que é como se $m$ tivesse batido em uma parede, de modo que sua velocidade se inverte de sentido e, nesse caso, diminui em módulo, pois houve perda de energia, ao passo que $M$ fica imóvel.

Intermediário:

Situação Física: Nesse cenário temos conservação da energia. O maior desafio é saber oque exatamente buscamos. Que fenômeno nos garantiria a condição desejada? Bem, se analisarmos a situação mais propensa a furar com a condição e essa ainda bater, logo temos o necessário. Tal situação se dá quando a bolinha está na vertical acima do pino, de modo que sua velocidade tangencial é a menor devido a conservação da energia. Para que o requerido ocorra, a centrípeta deve igualar o peso.

Resolução: A energia no ponto citado,cuja distância do ponto fixo é $2d-L$, por conservação de energia:

$E=E_{0}\rightarrow \frac{1}{2}mv^2=mg(2d-L)$

Assim obtemos a resultante centrípeta:

$R_{c}=\frac{(mv^2)}{L-d}=\frac{2gm(2d-L)}{L-d}$

E para a condição requerida:

$R_{c}\geq mg\rightarrow 4d-2L\geq L-d\rightarrow d_{min}= \frac{3}{5}L$

Avançado: 

Situação Física: Aqui temos a conservação de momento e energia. Um modo de analisa-lo é através de quadrivetores. Definamos o quadrivetor $P$ tal que $P=(E,p,0,0)$ sendo $p=\sqrt{E^2-M^2}$.

Resolução: Para os demais quadrivetores:

$P_{1}=(E_{1},\sqrt{E_{1}^2-m^2},0,0)$

$P_{2}=(E_{2},\sqrt{E_{2}^2-m^2}\cos{(\theta)},\sqrt{E_{2}^2-m^2}\sin{(\theta)},0)$

Pela conservação, temos;

$P-P_{1}=P_{2}\rightarrow (P-P_{1})(P-P_{1})=P_{2}P_{2}$

E isto nos leva a:

$P^2-2PP_{1}+P_{1}^2=P_{2}^2\rightarrow E^2-E^2+M^2-2(EE_{1}-\sqrt{E^2-M^2}\sqrt{E_{1}^2-m^2}\cos{(90^0)})+m^2=E_{2}E_{2}\cos{(0)}-\sqrt{E_{2}^2-m^2}\sqrt{E_{2}^2-m^2}\cos{(0)}=m^2$

Por fim, chegamos a:

$M^2-2EE_{1}+m^2=m^2\rightarrow E_{1}=\frac{M^2}{2E}$

Para $E_{2}$:

$E_{2}=E-E_{1}\rightarrow E_{2}=\frac{2E^2-M^2}{2E}$