Soluções Física - Semana 63

Iniciante:

Situação Física: Temos aqui, para que não haja aceleração radial, ou seja, para que a trajetória tenha raio constante, que a força resultante neste sentido deve ser nula. As forças radias nesta situação são: resultante centrípeta e força elástica.

Resolução: Para a resultante centrípeta:

$F_c=m\Omega^2R$

E para a força elástica:

$F_e=KR$

Igualando as forças, temos:

$F_c=F_e\rightarrow m\Omega^2R=KR$

E por fim:

$K=m\Omega$

Intermediário:

Situação Física: Temos uma situação na qual quando a massa estiver no ponto mais baixo, a força peso e a resultante centrípeta estarão para baixo, contrapondo a elástica, e quando se localizar no topo de sua trjetória, peso e força elástica se oporão a resultante centrípeta. Como nos é dito que a velocidade é constante, não devemos olhar para conservação de energia neste caso, pois é como se algo injetasse e retirasse energia no sistema.

Resolução: Quando a massa está no ponto baixo:

$F_p+R_c=F_e\rightarrow mg+m\frac{V^2}{R}=KR$

Oque nos leva a:

$KR^2-mgR-mV^2=0\rightarrow R=\frac{mg+\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}}{2K}$

E no ponto alto:

$F_p+F_e=R_c\rightarrow mg+KR'=m\frac{V^2}{R'}$

E deste modo:

$KR'^2+mgR'-mV^2=0\rightarrow R'=\frac{-mg+\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}}{2K}$

Sendo:

$\frac{R}{R'}=\frac{mg+\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}}{\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}-mg}$

Avançado:

Situação Física: Para obtermos o centro de massa do sistema como um todo basta olharmos para os centros de suas "partes". Quando o número de mols e a temperatura do gás mudam (à pressão constante) tanto sua massa quanto seu volume se alteram, movendo o pistão. Devemos lembrar que o centro de massa total e o momento (assim que parte do gás é liberado) se conservam.

Resolução: Conservando o momento na liberação do gás:

$\frac{m}{2}V=(\frac{m}{2}+M)v\rightarrow v=\frac{mV}{m+2M}$

E a aceleração que a freia o cilindro:

$F_{at}=\mu(\frac{m}{2}+M)g\rightarrow a=\frac{F_{at}}{\frac{m}{2}+M}=g\mu$

A distância percorrida até parar:

$d=vt-\frac{at^2}{2}$

E

$v-at=0\rightarrow t=\frac{v}{a}$

Deste modo:

$d=\frac{V^2}{g\mu}-\frac{V^2}{2g\mu}=\frac{V^2}{2g\mu}$

Novo centro de massa do cilindro após a saída do gás e ao aquecimento, em relação ao centro de massa do restante do gás:

$\frac{m}{2}X=Mx$

E

$X+x=\frac{L'}{2}$

Logo:

$\frac{m}{2}X=M(\frac{L'}{2}-X)\rightarrow X=\frac{ML'}{m+2M}$

Em relação a dita origem:

$P_{cm}=d+X+\frac{L'}{2}=\frac{V^2}{2g\mu}+\frac{ML'}{m+2M}+\frac{L'}{2}$

Onde $L'$ é devido ao novo centro de massa. Lembrando que como há uma força externa atuando, o cilindro não deslizará devido ao aquecimento:

$L'A=V'$

$V'=\frac{n}{2}R5T$

Sendo:

$LA=V$

$V=nRT$

Logo:

$L'=\frac{5}{2}L$

Substituindo:

$P_{cm}=\frac{V^2}{2g\mu}+\frac{ML5L}{2(m+2M)}+\frac{5L}{4}$

E para a posição do pistão:

$P_p=d+L'-L$

$P_p=\frac{V^2}{2g\mu}+\frac{3}{2}L$