Soluções Física - Semana 69

Iniciante:

Situação Física: Temos de nos lembrar de alguns conceitos de lançamento, cinemática e conservação de energia. Para o projétil, temos que sua energia é dada pela potencial mais a cinética, sendo necessário se descobrir sua altura inicial, a qual podemos obter pela dada condição de o projétil atingir o local onde o mago inicialmente se encontrava, a uma distância $D$ da catapulta, e foi disparado com certa velocidade inicial horizontal, sendo que a velocidade nesta direção se conserva. Pelo raio que o Mago deveria percorrer para escapar do impacto, vemos a condição de velocidade mínima para a outra saída.

Resolução: Para a altura do projétil:

$H=g\frac{t^2}{2}$

E

$D=V_0t$

Deste modo

$H=g\frac{D^2}{2V_0^2}$

E assim obtemos sua energia:

$E_1=\frac{1}{2}MV_0^2+M\frac{D^2g^2}{2V_0^2}$

Já para a locomoção do Mago, temos:

$vt=R\rightarrow v=\frac{RV_0}{D}$

E logo a energia se da por:

$E_2=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\frac{RV_0}{D}^2$

Sendo a razão entre as energias:

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{M}{m}\frac{V_0^2+\frac{D^2g^2}{V_0^2}}{\frac{RV_0}{D}^2}$

Intermediário:

Situação Física: Realizando uma sobreposição, fica fácil de obtermos o momento de inércia de um cilindro não maciço, e a partir disso, conservamos suas energias, assumindo rolamento perfeito, para obter as alturas.

Resolução: Momento de inércia do segundo cilindro, por sobreposição:

$I_2=I_R-I_r=\frac{1}{2}m_1R^2-\frac{1}{2}m_2r^2=\frac{1}{2}m_1R^2-\frac{1}{2}m_2\frac{R^2}{4}$

endo que para as massas, temos:

$m_1=V_1\rho$

E

$m_2=V_2\rho$

E para os volumes:

$V_1=hR^2\pi$

E

$V_2=\frac{R^2}{4}\pi$

E deste modo, temos:

$m_1=\rho\pi hR^2$

$m_2=\rho\pi h\frac{1}{4}R^2\rightarrow m_2=\frac{1}{4}m_1$

Voltando ao momento de inércia:

$I_2=\frac{1}{2}m_1R^2-\frac{1}{32}m_1R^2=\frac{15}{32}m_1R^2$

Para as energias:

$E_1=\frac{1}{2}I_1\omega^2=m_1gH_1$

$E_2=\frac{1}{2}I_2\omega^2=(m_1-m_2)gH_2=\frac{3}{4}m_1hH_2$

Deste modo a razão entre as alturas se da por:

$\frac{H_1}{H_2}=\frac{3I_1}{4I_2}=\frac{3\frac{1}{2}m_1R^2}{4\frac{15}{32}m_1R^2}=\frac{4}{5}$

Avançado: 

Situação Física: Devemos nos lembrar também que a intensidade é proporcional ao quadrado do campo.

Resolução: Para a primeira polarização:

$E_1=\frac{E_0}{2}$

Para a segunda:

$E_2=E_1\cos{(\alpha)}=\frac{E_0}{2}\cos{(\alpha)}$

E para a terceira:

$E_3=E_2\cos{(90-\alpha)}=\frac{E_0}{2}\cos{(\alpha)}\sin{(\alpha)}$

Deste modo:

$\frac{I_2}{I_0}=\frac{E_2^2}{E_0^2}=\frac{1}{16}\sin{(2\alpha)}^2$