Soluções Física - Semana 76

Conservação da quantidade de movimento.

Conservação da quantidade de movimento:

$mV_{0}=\big(m+3m\big)V_{f}$

$V_{0}=4.5$

$V_{0}$=$20$ $\frac{m}{s}$

$V_{0}$=$20$ $\frac{m}{s}$

Conservação da quantidade de movimento e energia(colisão elástica).

Conservação da quantidade de movimento no eixo x:

$mv=mv_{x}+nmv_{x}$$v_{x}=\frac{v}{1+n}$

Conservação da quantidade de movimento no eixo y:

$mv_{1y}=nmv_{2y}$$v_{1y}=nv_{2y}$

Conservação de energia:

$\frac{mv^{2}}{2}=\frac{m}{2}\Bigg(v_{x}^{2}+v_{1y}^{2}\Bigg)+\frac{nm}{2}\Bigg(v_{x}^{2}+v_{2y}^{2}\Bigg)$

$\frac{mv^{2}}{2}=\frac{m}{2}\Bigg(\Big(\frac{v}{1+n}\Big)^{2}+(nv_{2y})^{2}\Bigg)+\frac{nm}{2}\Bigg(\Big(\frac{v}{1+n}\Big)^{2}+v_{2y}^{2}\Bigg)$

$\frac{nmv_{2y}^{2}(1+n)}{2}=\frac{nmv^{2}}{2(1+n)}$

$v_{2y}=\frac{v}{1+n}$

Logo,como $v_{x}$ e $v_{2y}$ são iguais, o ângulo que a massa $nm$ faz com o eixo x é $45^{\circ}$.

$45^{\circ}$

Conservação da quantidade de movimento,em relação ao centro de massa, e conservação de energia.

Velocidade do centro de massa:

$V_{cm}=\frac{mv}{m+m_{1}}$

Em relação ao centro de massa, temos que a quantidade de movimento total é zero, então:

$m_{1}v_{1}=mv_{2}$

$v_{1}=\frac{m}{m_{1}}v_{2}$

Conservação de energia:

$\frac{m}{2}\Big(v-V_{cm}\Big)^{2}+\frac{m_{1}}{2}V_{cm}^{2}=\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{mv_{2}^{2}}{2}$

Substituindo $v_{1}$ e $V_{cm}$,temos:

$v_{2}=\frac{m_1}{m+m_{1}}v$

Para que a bola de massa $m$ bata em todas as bolas, ela terá que sair com o ângulo de $\frac{\pi}{N}$, pois $N$ tende ao infinito.

A diferença vetorial $v_{f}$, a velocidade da massa $m$ no referencial da Terra após a colisão, e $V_{cm}$ resulta no $v_{2}$.Como $m_{1}$ é igual a $\frac{M}{N}$ e que o ângulo entre $v_{f}$ e $V_{cm}$ é de $\frac{\pi}{N}$, já que  $V_{cm}$está na mesma direção de $v$, velocidade antes da colisão.

Logo, pela lei dos senos e utilizando que $sen\theta\approx\theta$,temos:

$\frac{M}{m}=\frac{\pi}{sen\alpha}$

Logo $\frac{M}{m}$ minímo é:

$\frac{M}{m}=\pi$

$\frac{M}{m}=\pi$