Soluções Física - Semana 82

Ao lançar um bloquinho para cima num plano inclinado liso, devido ao seu peso, ele está condicionado a voltar para seu ponto de lançamento, com uma velocidade $-v_o$ por ser um sistema conservativo. A questão busca alguns parâmetros que podem ser obtidos, como a altura máxima atingida e quanto tempo leva para acontecer o movimento de ida e volta.

a) Como o bloquinho se movimenta num plano liso, ou seja, sem atrito, podemos considerar que não atuam forças dissipativas no bloquinho e conservar sua energia mecânica de quando ele é lançado até quando ele para, logo:

$E_{mec_o} = E_{mec_f}$

$E_{cin_o} + E_{pot_o} = E_{cin_f} + E_{pot_f}$

Definindo o nível de referência no ponto que ele é lançado, e como queremos a altura quando ele está parado:

$\dfrac{m v_o^2}{2} + 0 = 0 + m g H$

$\dfrac{v_o^2}{2} = g H$

$H = \dfrac{v_o^2}{2g}$

b) Podemos trabalhar agora num sistema de coordenadas definido de tal forma que o eixo $x$ esteja paralelo ao plano, com direcionamento positivo subindo o plano, e o eixo $y$ perpendicular ao plano, sendo positivo para fora do plano. Podemos obter as componentes do peso nesse sistema de coordenadas:

Em $x$:

$P_x = - mg \sin (\theta)$

Sendo negativo pois aponta na direção de descida do plano.

Em $y$:

$P_y = - mg \cos (\theta)$

Sendo negativo pois aponta para dentro do plano.

Atuará no bloquinho uma força normal $N$ entre o plano e o bloquinho, agindo de tal forma que ele não desprende do plano, logo:

$N= - P_y$

$N=mg \cos (\theta)$

Dessa forma, o bloquinho acelera apenas ao longo do eixo $x$, com aceleração $a$:

$m a = P_x$

$m a = -m g \sin (\theta)$

$a = - g \sin (\theta)$

Por esse ser um sistema conservativo, podemos concluir que quando o bloquinho volte ao ponto de lançamento, ele possuirá a mesma velocidade $v_o$, mas agora com o bloquinho se movimentando de forma a descer o plano. Escrevendo a equação horária da velocidade, temos que:

$v=v_o + at$

$v=v_o - g\sin(\theta) t$

Como $v=-v_o$

$-v_o = v_o - g\sin(\theta) t$

$2v_o=g\sin(\theta) t$

$t = \dfrac{2v_o}{g\sin (\theta)}$

a) $H = \dfrac{v_o^2}{2g}$

b) $t = \dfrac{2v_o}{g\sin (\theta)}$

Ao associar lentes, observa-se que ocorre a formação de um sistema óptico com um foco característico. Como ficaria o foco equivalente para uma associação de justaposição de $n$ lentes delgadas?

Podemos escrever a equação de Gauss para cada lente:

$\dfrac{1}{f_1}= \dfrac{1}{p_1} + \dfrac{1}{p'_1}$

$\dfrac{1}{f_2} = \dfrac{1}{p_2} + \dfrac{1}{p'_2}$

. . .

$\dfrac{1}{f_{n-1}} = \dfrac{1}{p_{n-1}} + \dfrac{1}{p_{n-1}}$

$\dfrac{1}{f_n} = \dfrac{1}{p_n} + \dfrac{1}{p'_n}$

Pelo motivo das lentes serem delgadas e estarem justapostas, nós temos que a imagem formada de uma lente atua como objeto para outra, de forma subsequente, ou seja: A imagem da lente $1$ atua como objeto para a lente $2$, a imagem desse objeto atua como objeto para a lente $3$, seguindo esse padrão até a lente $n$, onde sua imagem se torna a imagem do sistema óptico.

Mas, nessa sequência de formação de imagens, caso a imagem de uma lente fosse real, por as lentes estarem justapostas e serem delgadas, essa imagem formaria-se depois da próxima lente, ou seja, ela no caso atuaria como sendo um objeto virtual. O caso inverso, de ser formada uma imagem virtual, acarretaria na formação de um objeto real para outra lente, dessa forma, na equação de Gauss, os valores são invertidos, ou seja:

$p'_1 = - p_2$

$p'_2 = -p_3$

$. . .$

$p'_{n-1}=-p_n$

Dessa forma, ao somar todas as equações, restaria:

$\dfrac{1}{f_1} + \dfrac{1}{f_2} + ... + \dfrac{1}{f_{n-1}} + \dfrac{1}{f_n} =\dfrac{1}{p_1} + \dfrac{1}{p'_n}$

O foco equivalente desse sistema óptico é obtido quando o objeto da primeira lente situa-se no infinito, e a imagem da $n$-ésima lente situa-se então no foco do sistema óptico, logo:

Quando $p_1 \rightarrow \infty$:

$p'_n = f_{eq}$

Daí:

$\dfrac{1}{f_{eq}} = \dfrac{1}{f_1} + \dfrac{1}{f_2} + . . . + \dfrac{1}{f_{n-1}} + \dfrac{1}{f_n}$

Demonstração.

O feixe de luz ao sair horizontalmente, passará para uma camada de ar em uma maior altitude, tendo então um índice de refração diferente. Para que esse feixe consiga circundar o planeta, deve existir uma condição, que nesse caso está ligada ao raio.

Podemos interpretar o fenômeno da luz movendo-se "em círculo" como o resultado de sucessivas reflexões internas. Essas reflexões passam a ocorrer quando o seno do ângulo de incidência $\alpha$ em uma superfície é igual à razão dos índices de refração dos materiais que delimitam a superfície.

Podemos ao invés de tratar o índice de refração como uma grandeza que varia continuamente, dividir nossa atmosfera em diversas sub-regiões de índice de refração constante, tendo essas sub-regiões uma variação de altitude infinitesimal, que chamaremos de $\delta h$. Do esquema ilustrado de como seria o percurso da luz nessas condições, podemos obter que:

$sen(\alpha) = \dfrac{R}{R+\delta h}$

Temos, do conceito de ângulo limite, que:

$sen(\alpha) = \dfrac{n(\delta h)}{n(0)}$

$sen(\alpha) = \dfrac{\dfrac{n_o}{1+\delta h \varepsilon}}{\dfrac{n_o}{1}}$

$sen(\alpha) = \dfrac{1}{1 + \delta h \varepsilon}$

Juntando as duas equações:

$\dfrac{R}{R+\delta h} = \dfrac{1}{1 + \delta h \varepsilon}$

$R + Rh \varepsilon = R + \delta h$

$R\varepsilon = 1$

$R = \dfrac{1}{\varepsilon}$

$R = \dfrac{1}{\varepsilon}$