Aula 05 - Quádruplas Harmônicas

Aula por Brendon Borck

Agora que já sabemos razão cruzada, vamos ao principal: o que aconteceria se ela fosse constante? Melhor: se ela tivesse módulo $1$? Dizemos que $$(A, B; C, D)$ é uma quádrupla harmônica quando $(A, B; C, D) = -1$ e as propriedades que vimos anteriormente conseguem ser aplicadas com maior facilidade, já que podemos encontrar elas naturalmente em várias configurações (as bissetrizes interna e externa com seus lados adjacentes é um dos maiores exemplos). Analisando a razão em si obtemos uma igualdade de segmentos, que podemos usufruir da mesma forma:

 

$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{AD}{BD}$

 

Por questão de nomenclatura, utilizando o exemplo acima, dizemos que $A$ é conjugado harmônico de $B$ em relação ao segmento $\overline(CD)$ e agora estamos prontos para alguns lemas e conceitos importantes.

O feixe harmônico, também chamado de lápis, acontece de maneira análoga ao apresentado anteriormente (uma quádrupla harmônica não deixa de ser uma razão cruzada), ou seja, qualquer reta que o corta gera quatro pontos com a razão em questão. Porém, a construção dele com régua é o mais interessante e conveniente para muitas questões:

 

 

Podemos encontrar o conjugado harmônico do ponto $X$ em relação ao segmento $\overline(BC)$ da seguinte maneira: traçamos três retas a partir desses pontos com encontro em $A$, depois basta traçarmos dois segmentos $BY$ e $CZ$ com interseção em $AX$. Pronto: Chame de $X?$ o ponto que $YZ$ corta a reta $BC$ e temos que $(X, X?; B, C) = -1$.

A prova pode ser feita aplicando diretamente o teorema de Ceva e Menelaus, que caso não seja de conhecimento do leitor segue abaixo:

 

Teorema de Ceva:

Dado um triângulo $ABC$, construa as cevianas $AD$, $BE$ e $CF$, a partir disso é possível afirmar que elas se encontram num ponto $P$ se, e somente se:

 

$\dfrac{AF}{BF} \cdot \dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{AE} = 1$

 

Prova: Utilize as áreas dos triângulos formados.

 

Teorema de Menelaus:

Dados um triângulo $ABC$ e uma reta $r$, chame de $D$, $E$ e $F$ os pontos que ela corta os lados $BC$, $AC$ e $AB$, respectivamente. a partir disso é possível afirmar que:

 

$\dfrac{AF}{BF} \cdot \dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{AE} = 1$

 

 

Prova: Utilize semelhança de triângulos em relação a reta $r$.

 

Essa construção já nos permite associar cevianas diretamente com quádruplas harmônicas e consequentemente alguns pontos notáveis, mas há uma exceção que não podemos deixar de comentar e serve para testarmos os conceitos ensinados na introdução deste artigo: e se o ponto $X$ do exemplo fosse ponto médio de $BC$? O leitor familiarizado com a geometria deve ter conseguido notar que não há opção: a reta $YZ$ será paralela à $BC$, uma maneira mais didática de vermos isso seria aplicando diretamente o teorema de Ceva seguido do teorema de Tales. Como estamos no plano projetivo não há motivo para desespero: duas retas paralelas encontram-se num dos pontos do infinito (o específico a esse feixe de paralelas) e este será o conjugado harmônico de $X$, digamos que $P_{\infty}$. Por convenção: $(B, C; X, P_{\infty}) = -1$ nesse caso.

Para finalizar as técnicas, já vimos as associações entre triângulos e quádruplas harmônicas, mas através de quadriláteros elas manifestam-se também? Sim e a resposta ainda é de extrema utilidade. Assim como abordado no tópico sobre razão cruzada não são somente pontos colineares que a geram, no caso em questão seremos introduzidos aos quadriláteros harmônicos.

A definição pode ser feita da seguinte maneira: Dados quatro pontos concíclicos $A, B, C, D$, chamamos sua união de quadrilátero harmônico caso haja a seguinte razão:

$\dfrac{BC}{DC} = \dfrac{BA}{DA}$

 

Visto isso, podemos introduzir nosso primeiro lema:

 

Lema: Seja $P$ um ponto fora de uma circunferência $\Gamma$ e $PA$, $PC$ tangentes a ela. Chame de $B$ e $D$ dois pontos que pertencem à $\Gamma$ e que são colineares com $P$. A partir disso podemos afirmar que $ABCD$ é um quadrilátero harmônico e se $X = \overline(BD) \cap \overline(AC)$, então $(B, D; P, X) = -1$.

 

 

Prova: Iremos utilizar alguns conceitos elementares da Geometria, precisamente semelhança de triângulos:

 

$triangle BPC \sim \triangle CPD$ (caso A.A): $\dfrac{BC}{DC} = \dfrac{PC}{PD}$

 

$triangle BPA \sim \triangle APD$ (caso A.A): $\dfrac{BA}{DA} = \dfrac{PA}{PD}$

 

Como $PA$ e $PC$ são tangentes à $\Gamma$, pelo teorema do Bico $PA=PC$ e temos o que precisávamos:

 

$\dfrac{BC}{DC} = \dfrac{BA}{DA}$

 

Para finalizarmos a prova basta utilizarmos perspectiva em $A$, já que sabemos agora que $ABCD$ é quadrilátero harmônico:

 

$(B, D; A, C) = A(B, D; P, X) = -1$

 

Note que ao tomarmos perspectiva em $A$ precisamos considerar a reta $AA$, nesse caso determinamos que ela representa a tangente de $A$ em relação à $\Gamma$. Lembre-se disso em problemas que envolvem feixes e circunferências.

 

Por fim, vamos a um problema técnico para testar o que foi aprendido na sessão e mostrar como quádruplas harmônicas aliadas ao conceito de perspectiva podem ser destruidoras:

 

Problema: Sejam $A, B, C, D, E$ pontos num círculo $\omega$ e $P$ um ponto fora do círculo. Considere que $PB$ e $PD$ são tangentes à $\omega$, que os pontos $P, A, C$ são colineares e $\overline(DE) \parallel \overline(AC)$. Prove que $\overline(BE)$ bissecta $\overline(AC)$.

 

 

Solução: Chame de $M$ o ponto que $\overline(BE)$ corta $\overline(AC)$. Pelo lema o quadrilátero $ABCD$ é harmônico, a partir disso use perspectiva em $E$:

 

$(A, C; B, D) = E(A, C; M, P_{\infty}) = (A, C; M, P_{\infty}) = -1$

 

Aparece o ponto do infinito na razão já que $\overline(DE) \parallel \overline(AC)$ e sabemos que seu conjugado harmônico é o ponto médio do segmento em questão, então $AM=MC$ e $\overline(BE)$ bissecta $\overline(AC)$.