Modelo de Bohr e o atual

Aula de Fernando Garcia e João Costa

 

Modelo de Bohr - Introdução

O modelo de Bohr se propõe a resolver os problemas e aperfeiçoar o modelo de Rutherford. Niels Bohr propõe um átomo matematicamente detalhado* baseado na teoria quântica de Planck e na observação dos espectros de luz dos átomos. O modelo se adequa perfeitamente para espécies hidrogenoides, ou seja aquelas com apenas 1 elétron e possui as seguintes características:

• O elétron orbita de maneira circular em torno do núcleo sem absorver ou emitir energia de maneira espontânea.
• As órbitas possíveis para um elétron são aquelas em que o momento angular do elétron  é um múltiplo inteiro de $\dfrac{h}{2\pi}$,  sendo h a Constante de Planck.
• Ao receber energia o elétron salta para órbitas mais externas e ao retornar libera energia na forma de ondas eletromagnéticas.

Modelo de Bohr - Detalhamento matemático

Neste vamos buscar o esclarecimento de duas ideias presentes na teoria atômica de Bohr: A quantização do raio e da energia de um átomo. Nosso objetivo final é realizar uma "demonstração" da equação de Rydberg para saltos quânticos. Para isso, convido o leitor a dar uma olhada mais próxima do átomo de Bohr.

Aqui está a representação de um átomo que se aplica muito bem a teoria de Bohr, ou seja, ele possui apenas um elétron. Aliás ai está um ponto bom a ser ressaltado, toda essa matemática que iremos discutir aqui se aplica apenas para átomos hidrogenóides, ou seja, com só um elétron. Com isso dito, note que o elétron destacado na imagem acima sofre uma força elétrica atrativa em direção ao núcleo. Como o elétron descreve uma óbrita circular em torno desse núcleo, podemos afirmar que essa força elétrica ($Fel$) é igual a força centrípeta ($Fcp$). Logo:

$Fel = Fcp$

$\Rightarrow \cfrac{K|q_{1}q_{2}|}{r^{2}} = \cfrac{mv^{2}}{r}$

Lembre-se que:

$K = \cfrac{1}{4\pi \epsilon _{0}}$

Além disso, assumindo a carga elementar como $-e$ e a carga do núcleo como $Ze$, onde $Z$ é o número atômico, temos:

$\cfrac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}} = \cfrac{mv^{2}}{r}$

$\Rightarrow \cfrac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r} = mv^{2}$

$\Rightarrow \cfrac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mr} = v^{2}$

Vamos analisar agora a expressão da quantização do momento angular do elétron proposta por Bohr, ela é dada por:

$\boxed{mvr = n\cfrac{h}{2\pi}}$

Isolando $v^{2}$:

$mvr = n\cfrac{h}{2\pi}$

$\Rightarrow v^{2} = \cfrac{n^{2}h^{2}}{4\pi ^{2}m^{2}r^{2}}$

Quantização do raio

Note que temos duas expressões para $v^{2}$, vamos igualar as duas.

$\cfrac{n^{2}h^{2}}{4\pi ^{2}m^{2}r^{2}} = \cfrac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mr}$

$\Rightarrow r = \cfrac{n^{2}h^{2} \epsilon _o}{\pi mZe^{2}}$

A expressão que acabamos de chegar é a chamada quantização do raio da orbita de um elétron. Veja que é chamada de quantização pelo fato de que o raio depende quase que totalmente apenas de constantes matemáticas para sua determinação. As únicas variáveis dessa equação são o $n$ que é o número quântico principal e o $Z$ que é o número atômico do átomo analisado. Desse modo, se você sabe o número de prótons de um átomo hidrogenóide, automaticamente você já sabe os raios de órbita dele pra todos os níveis eletrônicos.

Assim, substituindo todas as constantes para o átomo de hidrogênio, ou seja $Z = 1$, vamos ter a seguinte expressão para o raio em nanômetros:

$\boxed{r = 0,053.n^{2}}$

Perceba que essa expressão nos diz que o espaçamento entre os raios dos diferentes níveis energéticos do átomo não são iguais, mas sim esse espaço vai crescendo de forma diferente a medida que o $n$ aumenta. Isso ocorre justamente pelo fato de que esses raios não dependem de $n$ apenas, eles dependem de $n^{2}$, o que muda completamente a situação.

A quantização da energia

Para começar, vamos achar uma expressão diferente para a velocidade quantizada desse elétron substituindo o raio quantizado na expressão do momento angular do elétron.

$mvr = n\cfrac{h}{2\pi}$

$\Rightarrow mv\cfrac{n^{2}h^{2} \epsilon _o}{\pi mZe^{2}} = n\cfrac{h}{2\pi}$

$\Rightarrow v = \cfrac{Ze^{2}}{2nh \epsilon _o}$

Voltemos agora à mesma igualdade o início da aula:

$Fel = Fcp$

$\Rightarrow \cfrac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r} = mv^{2}$

Guardemos com carinho essas expressões para $mv^{2}$ e para a velocidade. Agora sim, podemos partir para a energia de forma mais direta. Sabemos que:

$E = E_{c} + E_{p}$

$\Rightarrow E = \cfrac{mv^{2}}{2} + \cfrac{Kq_{1}q_{2}}{r}$

Substituindo o K e as cargas na expressão da energia potencial:

$E = \cfrac{mv^{2}}{2} - \cfrac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}$

Lembrando da expressão para $mv^{2}$, vimos que ela é igual ao da energia potencial, logo a substituímos na expressão.

$E = \cfrac{mv^{2}}{2} - mv^{2}$

$\Rightarrow E = -\cfrac{mv^{2}}{2}$

 Substituindo $v$ pela expressão da velocidade quantizada que achamos no inicio dessa seção, temos:

$E = -\cfrac{m}{2}\left(\cfrac{Ze^{2}}{2nh \epsilon _o}\right)^{2}$

$\Rightarrow E = -\cfrac{mZ^{2}e^{4}}{8n^{2}h^{2} \epsilon _o^{2}}$

Assim, chegamos na energia quantizada proposta por Bohr. Ao substituir as constantes, chegamos ao seguinte resultado:

$\boxed{E = -\cfrac{13,6Z^{2}}{n^{2}} eV}$

Uma coisa muito interessante que essa energia quantizada nos indica é que a medida que o elétron vai se distanciando do núcleo, ou seja, seu $n$ aumenta, sua energia aumenta.

A equação de Rydberg

Quando temos um salto quântico ocorre, o que na realidade é um $\Delta E$ do elétron, coisa que libera certa quantidade de energia. Dessa maneira:

$\Delta E = |E_{f} - E_{i}|$

Já botando tudo em evidência:

$\Delta E = \cfrac{mZ^{2}e^{4}}{8h^{2} \epsilon _o^{2}}\left|\cfrac{1}{n_{f}^{2}} - \cfrac{1}{n_{i}^{2}}\right|$

Porém devemos lembrar que:

$\Delta E = \cfrac{hc}{\lambda}$

Logo:

$\cfrac{hc}{\lambda} = \cfrac{mZ^{2}e^{4}}{8h^{2} \epsilon _o^{2}}\left|\cfrac{1}{n_{f}^{2}} - \cfrac{1}{n_{i}^{2}}\right|$

$\Rightarrow \cfrac{1}{\lambda} = \cfrac{mZ^{2}e^{4}}{8h^{3}c \epsilon _o^{2}}\left|\cfrac{1}{n_{f}^{2}} - \cfrac{1}{n_{i}^{2}}\right|$

Agrupando as constantes:

$\cfrac{1}{\lambda} = \left(\cfrac{me^{4}}{8h^{3}c \epsilon _o^{2}}\right) Z^{2} \left|\cfrac{1}{n_{f}^{2}} - \cfrac{1}{n_{i}^{2}}\right|$

Substituindo todas essas constantes por $R$ (constante de Rydberg), chegamos à equação de Rydberg.

$\boxed{\cfrac{1}{\lambda} = RZ^{2} \left|\cfrac{1}{n_{f}^{2}} - \cfrac{1}{n_{i}^{2}}\right|}$

Essa equação é muito importante e útil na hora de determinar o comprimento de onda emitida por um salto quântico, por isso guarde ela no fundo do seu coração.

 

Modelo Atômico atual - Os números Quânticos

O modelo atômico atual visa expandir a compreensão do átomo para além de espécies hidrogenoides, baseando-se no Princípio da Incerteza de Heisenberg, que diz que é impossível determinar a posição e a velocidade do elétron de maneira simultânea, e no Princípio da Dualidade de De Broglie, que prevê a dualidade partícula-onda para o elétron. Tal modelo recebeu contribuição de diversos cientistas como Sommerfeld, o que possibilitou seu aperfeiçoamento até hoje. Suas principais afirmações são sobre níveis eletrônicos, orbitais e números quânticos, as quais serão abordadas abaixo.

Dentro do modelo de Bohr, já se foi introduzida a ideia de nível eletrônico, e  que cada um seria correspondente a um certo nível de energia correspondente. Cada átomo possui infinitos níveis eletrônicos e cada um sendo correspondente a um número $n$ que varia de 1 até infinito e ficou conhecido como número quântico principal.

Além dos níveis eletrônicos, foram introduzidos os subníveis eletrônicos por Sommerfeld, os quais surgiram a partir da análise dos espectros de átomos polieletrônicos. Cada nível possui $n$ (Sendo $n$ o número do nível eletrônico) subníveis, cada um designado
por um número quântico secundário $l$ . Com $l$ variando de 0 até $n-1$.

A elaboração dos princípios dualidade e da incerteza, fez com que a ideia de órbitas de um átomo se tornasse obsoleta e com isso surgiu a ideia de orbital. Um orbital é a região em torno do núcleo onde há maior a probabilidade de se encontrar o elétron e em cada orbital são encontrado 2 elétrons. Em cada nível há $n^2$ orbitais e em cada subnível $2.l + 1$ orbitais teoricamente. A cada orbital está associado um número quântico magnético $m_l$, que varia de $-l$ a $+l.$

Por último, surge a ideia de spin eletrônico, que é é a rotação de uma partícula em torno de seu
próprio eixo, baseada no principio da exclusão de Pauli que consiste na ideia de  que “Dois elétrons em um mesmo átomo não podem ter o mesmo conjunto de números quânticos.” e “Em um orbital existem, no máximo dois elétrons, estes com spins opostos.”

Assim, iniciaram os estudos acercado spin que descobriram que:  O spin eletrônico produz um campo magnético em torno do elétron. Dois elétrons de spins opostos exercem um sobre o outro uma atração de natureza magnética que se contrapõe a repulsão elétrica entre eles, isso permite que os dois elétrons possam compartilhar o mesmo orbital. A presença de um terceiro elétron no orbital se torna impossível pois o número de forças repulsivas seria maior do que o de forças atrativas.

O número quântico associado ao spin do eletrônico é $s$ ou $m_s$ que é $+\dfrac{1}{2}$ ou $-\dfrac{1}{2}.$

Conclusão

Bom, nesta aula pudemos ver e mostrar matematicamente para você que o modelo de Bohr realmente possui tudo quantizado, além de observarmos o modelo atômico atual. Questões que exigem esse conhecimento podem cair tanto em ITA/IME, quanto nas mais diversas olimpíadas de química. Dito isso, não esqueça de fazer exercícios sobre esses tópicos pois só assim você conseguirá realmente fixar esse conteúdo. Bons estudos!