P5 - OBM 2018 - Nível 2

Problema. Numa lousa estão escritos inicialmente os números $1,2,...,10$. Para quaisquer dois números  $a$ e $b$ na lousa chamamos de $S_{a,b}$ a soma de todos os números na lousa com exceção de  $a$ e $b.$ Uma operação permitida é escolher dois números  $a$ e $b$ na lousa, apagá-los e escrever o número  $a + b +ab + S_{a,b}.$ Após realizar essa operação algumas vezes restam na lousa apenas dois números  $x$ e $y$, com $x \geq y.$

a) Quantas operações foram realizadas?
b) Determine o maior valor possível para $x.$

Solução de Pedro Rosalba.

Para a letra a), temos que cada operação diminui a quantidade de termos em 1. Logo, temos 8 operações até chegarmos em 2 termos.

Para a letra b), A nossa invariante pro problema é a  soma dos produtos $2$ a $2$ dos números a cada passo.

Seja $P_{a,b}$ a soma dos produtos $2$ a $2$ dos números no quadro sem $a,b$.

Temos que, antes da primeira operação, a soma dos produtos $2$ a $2$ dos números é:

$S_{a,b}\cdot{a} + S_{a,b}\cdot{b} + ab + P_{a,b}$

Após uma operação, temos que a soma dos produtos $2$ a $2$ é:

$(a+b + \frac{ab}{S_{a,b}})(P_{a,b}) + P_{a,b}$, e veja que isso é exatamente:

$S_{a,b}\cdot{a} + S_{a,b}\cdot{b} + ab + P_{a,b}$.

De volta ao problema, a soma dos produtos do final $( xy )$ é igual a: $\frac{((1+2+ \cdot\cdot\cdot + 10)^2 - (1^2 + 2^2 + \cdot\cdot\cdot + 10^2))}{2} = 1320 = x \cdot y.$ E logo o maior $x$ que podemos ter é $1320$, com $y=1$.