Problemas da semana 4 Solução Matemática

Escrito Por Caique Paiva

Iniciante: Ache o número de maneiras que podemos colocar o máximo de torres em um $n\times n$ de modo que elas não se ataquem.

Conteúdos Prévios Necessários:

Princípio das Casas dos Pombos

Solução:

Primeiro, veja que, se tivermos duas torres na mesma coluna, então essas duas torres vão se atacar.

Assim, em cada linha e coluna temos uma torre no máximo. Desse modo, dadas as colunas temos que escolher uma linha pra colocarmos uma torre nela. Desse modo, as linhas associadas às colunas são uma permutação das $n$ linhas. Logo, como temos $n!$ permutações, existem $n!$ possíveis escolhas.

Intermediário: Seja $a_0<a_1<a_2<\dots$ uma sequência infinita de inteiros positivos. Prove que existe um único $n$ tal que

$a_n<\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}n\le a_{n+1}$

(A1 IMO 2014)

Conhecimentos Prévios Necessários:

Sequências
Continuidade Discreta

Solução: (Feita por Davi Lopes) Defina $\Delta_i = a_{i} - a_{i-1}$ , então, faça $a_n = a_0 + \Delta_1+ \Delta_2 + \cdots + \Delta_n$ . Perceba que $\Delta_i \ge 1$ , pois $a_i > a_{i-1}$ e eles são inteiros. Então, a condição do problema pode ser reescrita:

$a_n < \frac{a_0 + \cdots + a_n}{n} < a_{n+1} \Longrightarrow$

$a_0 + \Delta_1 + \Delta_2 + ... + \Delta_n < \frac{(n+1)a_0 + n\Delta_1 +(n-1)\Delta_2+ ... + \Delta_n}{n} \le$

$\le a_0+\Delta_1 + ... +\Delta_n + \Delta_{n+1}$

Que então, depois de algumas contas, fica

$\Delta_2 +2\Delta_3 +...+(n-1)\Delta_n < a_0 \le \Delta_2 +2\Delta_3 +...+(n-1)\Delta_n +n\Delta_{n+1}$

Então, defina $b_1 = 0$ e $b_n =\Delta_2 + 2\Delta_3 +.. +(n-1)\Delta_n$ . Logo, perceba que $b$ é estritamente crescente e ilimitada, pois $b_{n+1} - b_{n} \ge n \Delta_{n+1} \ge n$ . Então, basta achar um $n$ tal que $b_n < a_0 \le b_{n+1}$ , e como $b_1 = 0 < a_0$ e $b_n$ é ilimitada e estritamente crescente, por continuidade discreta, tal $n$ existe.

Avançado: No triângulo $\Delta ABC$ seja $\omega$ o A-ex-incírculo de $ABC$ e $D$ , $E$ e $F$ os pontos de tangência de $\omega$ a $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente, a circunferência $(AEF)$ intersecta $BC$ em $P$ e $Q$ . Seja $M$ o ponto médio de $AD$ , prove que $(MPQ)$ é tangente a $\omega$

(G4 IMO 2017)

Conhecimentos Prévios Necessários:

Potência de Ponto
Lema da Estrela da Morte

Solução: (Feita por Bilhana) Seja $T = \overline{AD} \cap A-$ Exincírculo do $\Delta ABC$ e $J$ o $A-$ Exincentro. Veja que $AFJE$ é ciclico, pois $\angle AFJ = \angle AEJ = 90$ . Além disso, seja $S = \overline{AD} \cap (AEF)$ , então, temos que $90 = \angle AEJ = \angle ASJ$ , e $JD = JT$ , logo como $\Delta JDT$ é isósceles e $JS$ é altura desse triângulo, então $DS = DT$ .

Agora, vamos provar que $MPTQ$ é cíclico por potência de ponto! Veja que

$DM \times DT = DM \times 2DS = DA \times DS = |Pot_{(APSQ)}D| = DP \times DQ$

Então, pela volta da potência de ponto, $MPTQ$ é cíclico.

Com isso, precisamos provar que $T$ é o ponto de tangência dessas duas circunferências! Vamos provar isso pela volta da estrela da morte! Ou seja, vamos provar que $M$ é ponto médio do arco $\widehat{PQ}$ .

Seja $L$ o centro de $(AFE)$ , logo, $L$ é ponto médio de $\overline{AJ}$ , então, por base média, temos que $\overline{ML} \parallel \overline{DJ}$ , e portanto $\overline{ML}$ é perpendicular a $\overline{PQ}$ , logo, sendo $K = \overline{ML} \cap \overline{PQ}$ , temos que $\overline{MK}$ é altura de $\overline{PQ}$ , já que $\overline{MK} \parallel \overline{DJ}$ , e que $\overline{MK}$ é mediana de $\overline{PQ}$ , pois $\Delta LPQ$ é isosceles. Logo, triângulo $MPQ$ também é isósceles, então $MP = MQ$ , como queriamos provar.