Iniciante
Para acharmos os pontos ou valores críticos da função, que é contínua, podemos derivar toda a função e igualar o que acharmos a zero. Assim, encontraremos os pontos candidatos a máximo ou a mínimo! Logo, teremos:
f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)
Como f′(x) deve ser igual a zero, e como a função é contínua para todo x, teremos que os únicos pontos críticos são x=1 e x=2.
Intermediário
Ao utilizar-se a regra do quociente de derivação, f′(x) será igual a:
[x2−ln(x)]⋅d[1+ln(x)]−[(1+ln(x)]⋅d[x2−ln(x)][x2−ln(x)]2
=(x2−ln(x))(0+1x)−(1+ln(x))(2x−1x)[x2−ln(x)]2
=x−ln(x)x−(2x−1x+2x⋅ln(x)−lnx)[x2−ln(x)]2
=x−ln(x)x−2x+1x−2x⋅ln(x)+ln(x)x[x2−ln(x)]2
=1x−x−2x⋅ln(x)[x2−ln(x)]2
Agora, para simplificar a expressão, podemos fazer o seguinte:
(1x+(−x−2x⋅ln(x))xx)⋅1[x2−ln(x)]2
=1−x2−2x2ln(x)x⋅1[x2−ln(x)]2
=1−x2−2x2⋅ln(x)x[x2−ln(x)]2
Avançado
Para integrarmos o que nos foi dado, um jeito é usar as regras de integração mesmo e, depois, pelo método de integração por substituição, chegar ao resultado final. Assim, podemos definir inicialmente um v como: v=arcsin(3x). Assim,
dv=3⋅1√1−(3x)2dx
=3√1−9x2dx
Logo,
∫arcsin(3x)dx=x⋅arcsin(3x)−∫x3√1−9x2dx
Agora, realmente por substituição em u, temos: u=1−9x2 ⟶ du=−18x⋅dx Então:
∫arcsin(3x)dx=x⋅arcsin(3x)−3∫x1√1−9x2dx=x⋅arcsin(3x)−3∫1√u⋅−118du
=x⋅arcsin(3x)+16∫1√udu
=x⋅arcsin(3x)+16u121/2+C
Finalmente, substituindo novamente o u por (1−9x2), temos, como nosso resultado final:
=x⋅arcsin(3x)+13⋅√1−9x2+C