Soluções Física - Semana 1

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Seja $a_{A}$ a aceleração linear da polia $A$ e $a_{B}$ e $a_{C}$ definidas de forma análoga. Sejam então $\alpha_{A}$, $\alpha_{B}$, $\alpha_{C}$ as acelerações angulares das polias $A$, $B$ e $C$.

$$\bullet \ a_{B} = 4\frac{m}{s^2}; R_{B} = 10 cm = 0,1 m \Rightarrow \alpha_{B} = \frac{a_{B}}{R_{B}} = \frac{4}{0,1} = 40 \frac{rad}{s^2}$$

$$\bullet \ \alpha_{A} = \alpha_{B}; R_{A} = 20 cm = 0,2 m \Rightarrow a_{A} = \alpha_{A}R_{A} = 40 \cdot 0,2 = 8 \frac{m}{s^2}$$

$$\bullet \ a_{C} = a_{A} = 8 \frac{m}{s^2}; R_{C} = 50 cm = 0,5 m \Rightarrow \alpha_{C} = \frac{a_{C}}{R_{C}} = \frac{8}{0,5} = 16 \frac{rad}{s^2}$$

$$\bullet \ \omega_{C} = \omega_{0_{C}} + \alpha_{C} t \Rightarrow \omega_{C} = 16 \frac{rad}{s}$$

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

a)

$i)$ No referencial do centro de massa, temos, adotando o sentido positivo para a direita:

$V_1^\prime = \frac{m_2}{m_1 + m_2}V_0$ e $V_2^\prime = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}V_0$

$ii)$ Nesse referencial, a compressão será máxima quando a velocidade das duas massas forem zero. Então, por conservação da energia:

$$\frac12 m_1 {V_1^\prime}^2 + {\frac12 m_2 {V_2^\prime}^2} = \frac12 k(\Delta x)^2$$

$$(\Delta x)^2 = \frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}V_0^2$$

$$\Delta x = \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}V_0$$

b)No referencial do centro de massa, os objetos vão apenas trocar o sentido das velocidades após a colisão. Isso é verdade porque as velocidades devem continuar na razão $-\frac{m_2}{m_1}$ para que o momento total seja zero. Então ambas devem, em módulo, ou aumentar ou diminuir. Mas se alguma dessas duas coisas acontecerem, a energia não será conservada.

Logo:

$V_1 = -V_1^\prime + V_{CM}$ e $V_2 = -V_2^\prime + V_{CM}$

$V_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}V_0$ e $V_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}V_0$

Avançado (Solução por Fernando Frota)

Primeiramente, utilizamos o fato de que o $\triangle{OAB}$ é retângulo. Logo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. Logo, como $C$ é o ponto médio do lado $AB$, então $\overline{OC} = \overline{BC} = \overline{AC} = \frac{L}{2}$, onde $L$ é o comprimento total da barra. Assim, o $\triangle COB$ é isósceles e o ângulo $\angle COB$ vale $\alpha$ também, como mostra a figura ao lado.

Assim, o vetor posição $\vec{R}$ do centro de massa $C$ é dado (sendo o vetor unitário $\hat{x}$ na horizontal e o vetor unitário $\hat{y}$ na vertical) por:

$$\displaystyle{\vec{R} = (\frac{L}{2} cos \alpha) \hat{x} + (\frac{L}{2} sen \alpha) \hat{y}}$$

Derivando uma vez, encontramos a velocidade;

$$\displaystyle{\vec{v} = (-\frac{L}{2} sen\alpha\dot{\alpha}) \hat{x} + (\frac{L}{2} cos\alpha \dot{\alpha}) \hat {y}}$$

Derivando novamente, encontramos a aceleração:

$$\displaystyle{\vec{a} = (-\frac{L}{2} sen\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} cos\alpha {\dot{\alpha}}^2) \hat{x} + (\frac{L}{2} cos\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} sen \alpha {\dot{\alpha}}^2) \hat{y}}$$

Para encontrarmos o módulo da aceleração do ponto $C$, fazemos:

$$\displaystyle{a^2 = {(-\frac{L}{2} sen\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} cos\alpha{\dot{\alpha}}^2 )}^2 + (\frac{L}{2} cos\alpha\ddot{\alpha} - \frac{L}{2} sen \alpha {\dot{\alpha}}^2)^2}$$

$$\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4} {\dot{\alpha}}^4 + \frac{L^2}{4} {\ddot{\alpha}}^2}\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Assim, temos que encontrar o valor da velocidade angular e da aceleração angular da barra. Para isso, usamos que a distância $\overline{OB} = L cos\alpha$. Logo,

$$\displaystyle{v = -L sen \alpha \dot{\alpha}}$$

$$\displaystyle{\dot{\alpha} = - \frac{v}{L sen \alpha}}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

 Derivando a velocidade angular:

$$\displaystyle{\ddot{\alpha} = \frac{v}{L sen^2 \alpha}cos\alpha\dot{\alpha} = -\frac{v^2 cos\alpha}{L^2 sen^3 \alpha}} \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

Colocando as equações $(2)$ e $(3)$ na equação $(1)$:

$$\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4}[(-\frac{v}{Lsen\alpha})^4 + (-\frac{v^2cos\alpha}{L^2sen^3\alpha})^2]}$$

$$\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4}[ \frac{v^4}{L^4 sen^4\alpha} + \frac{v^4 cos^2\alpha}{L^4 sen^6 \alpha} ]}$$

$$\displaystyle{a^2 = \frac{v^4}{4L^2}[\frac{sen^2\alpha + cos^2\alpha}{sen^6\alpha}] = \frac{v^4}{4L^2sen^6\alpha} }$$

Onde nós obtemos a resposta final:

$$\displaystyle{a = \frac{v^2}{2Lsen^3\alpha}}$$