Semana 1 2020

PROBLEMA INICIANTE:

Determine todas as funções $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tais que:

$\begin{align*}2f(x)+f(1-x)=1+x\end{align*}$

PROBLEMA INTERMEDIÁRIO:

Mostre que para todo a,b,c reais positivos:
$a ^ 3b ^ 6 + b ^ 3c ^ 6 + c ^ 3a ^ 6 + 3a ^ 3b ^ 3c ^ 3 \geq abc (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3) + a ^ 2b ^ 2c ^ 2 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) .$

PROBLEMA AVANÇADO:

$S$ é um conjunto finito de inteiros positivos com a propriedade de que: se $x\in S$ então todos os divisores positivos de $x$ também pertencem. Um subconjunto $T$ de $S$ é bom se para todos $x,y\in T$ com $x<y$ , então $y/x$ é potência de primo. Um subconjunto $T$ de $S$ é ruim se para todos $x,y\in T$ com $x<y$ , $y/x$ não é potência de primo. O conjunto unitário é bom e ruim. Seja $k$ o tamanho máximo de um subconjunto bom de $S$ . Prove que $k$ é o menor número de subconjuntos ruins de $S$ disjuntos 2 a 2 cuja união é $S$ .