Semana 2 - PROBLEMAS

INICIANTE:

De $K$ um ponto num círculo, traçamos uma corda $KA$ (arco $AK$ maior que $90^{o}$ ) e uma tangente $l$ . A linha q passa pelo centro do círculo perpendicular a $OA$ , intersecta $KA$ em $B$ e $l$ em $C$ . Mostre que $KC = BC$ .

INTERMEDIÁRIO:

Sendo $a,b,c$ lados de um triângulo, mostre que:

$\sum_{cyc} \frac{(a^2 + b^2)(a + c)}{b} \ge 2(a^2 + b^2 + c^2)$

AVANÇADO:

Seja $P(x) = a_nx^n +... +a_2x^2 +a_0$ um polinômio de coeficientes inteiros e grau $d \geq2$ . Considere a sequência definida por: $b_0=0, b_n = P(b_{n-1})$ para $n\geq1$ . Para todo $n\geq2$ , prove que existe um primo $p$ tal que $p$ divide $b_n$ mas não divide $b_1...b_{n-1}$ .