Semana 35

 Iniciante

Seja \triangle ABC um triângulo de área S e M um ponto em seu interior tal que
MA . BC + MB . CA + MC . AB = 4S
Prove que $M$ é o ortocentro de \triangle ABC.

Intermediário

Seja p um primo da forma 3k+1. Prove que a equação
p = x^{2} + 3y^{2}
possui solução (x,y) nos inteiros.

Avançado

Sejam A_{1}, A_{2}, ..., A_{2n} pontos, nessa ordem, em uma circunferência. Ache a quantidade de maneiras de colorir os segmentos A_{i} A_{j} (1 \le i < j \le 2n) de maneira que
(i) Exatamente n segmentos são coloridos.
(ii) Para cada i=1,2,...,2n, existe exatamente um segmento colorido que passa por A_{i}v.
(iii) Nenhum par de segmentos coloridos se intersecta no interior da circunferência.