SEMANA 58 MATEMÁTICA

 

Iniciante

Ache o maior inteiro positivo $d$ com a seguinte propriedade: Se $p>3$ é um número primo, então $d$ divide $p^2-1$

Intermediário

Seja $ABCD$ um paralelogramo. Prove que $AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$.

Avançado

Dado um inteiro positivo $k$, prove que existe um polinômio $P$ de coeficientes racionais com

$1^k+2^k+...+n^k = P(n)$

para todo $n$ inteiro positivo.