SEMANA 64 MATEMÁTICA

 

Iniciante

Tome um grupo de pessoas onde cada pessoa aponta para exatamente uma outra diferente. Prove que é possível encontrar um ciclo de pessoas, onde cada pessoa aponta para a seguinte.

Intermediário

Prove que existe um polinômio $p(x)$ tal que o seu coeficiente líder é $1/2^{2020}$ e $p(x)$ é inteiro para todo $x$ inteiro.

Avançado

Seja $ABCD$ um paralelogramo e $k$ o círculo de diâmetro $AC$. As semirretas $CB$ e$CD$ encontram $k$ em $E$,$F$. Prove que se $EF \cap BD = T$, então $TA$ é tangente a $k$.