Solução - Semana 5

Escrito por Lucas Rivelli

Iniciante

Como demonstrado pela questão, Júlio é alguém preguiçoso que não gosta de trabalhar, mas gosta de aproveitar o resultado desse trabalho. Dessa forma, podemos tratar o esforço como sendo um bem mal, na qual quanto menos, melhor.
Essas curvas de indiferença podem ser representadas por meio do seguinte gráfico:

Intermediário

Primeiro é necessário observar o que as afirmações dizer sobre as cestas de consumo.
Primeiramente, é evidente que, dado que $A \succeq E$ e $E \succeq A$,
$A \sim E$. Além disso, $I \sim A$, o que nos permite afirmar que as $I \sim E$. Ou seja, é possível afirmar que, dado que os bens são substitutos perfeitos, as curvas de indiferença serão no seguinte formato.

Com base nessas informações, é possível afirmar que as afirmações 1, 3, 5 estão verdadeiras.

Avançado

Primeiramente, é necessário encontrar qual é a restrição orçamentária de todos os habitantes da cidade. Utilizando a soma de uma Progressão Aritmética (PA), onde o primeiro termo é 9 e o último termo é 399, temos:

$S_n = \frac{(1+407)\cdot 15}{2}$

Portanto,

$S_n = 3060$

Como a utilidade de todos é igual, podemos usar a restrição orçamentária total da cidade. Agora, é necessário encontrar quanto será consumido. Para isso, precisamos achar o ponto no qual a razão entre os preços é equivalente à razão entre as utilidades marginais (o ponto de tangência das curvas).

$\frac{MU_G}{MU_R} = \frac{P_G}{P_R}$

$\frac{MU_G}{MU_R} = \frac{9}{4}$

Para descobrir a utilidade marginal de ambos os produtos, basta calcular a derivada parcial com base na equação de utilidade. Dessa forma:

$MU_{x_G} = \frac{\partial}{\partial x_G}(x_G^{0,25}x_R^{0,75})$

$MU_{x_G} = \frac{\partial}{\partial x_G}(x_G^{\frac{1}{4}}x_R^{\frac{3}{4}})$

$\frac{\partial MU_{x_G}}{\partial x} = \frac{\sqrt[4]x_R^3}{4\sqrt[4]x_G^3}$

Realizando o mesmo processo para $MU_{x_R}$:

$MU_{x_R} = \frac{\partial}{\partial x_G}(x_G^{0,25}x_R^{0,75})$

$MU_{x_R} = \frac{\partial}{\partial x_R}(x_G^{\frac{1}{4}}x_R^{\frac{3}{4}})$

$\frac{\partial MU_{x_R}}{\partial x} = \frac{3\sqrt[4]x_G}{4\sqrt[4]x_R}$

Dessa forma, é possível chegar na seguinte equação:

$\frac{\frac{\sqrt[4]X_R^3}{4\sqrt[4]X_G^3}}{\frac{3\sqrt[4]X_G}{4\sqrt[4]X_R}} = \frac{9}{4}$

$\frac{\sqrt x_R}{3\sqrt x_G} = \frac{9}{4}$
$4\sqrt x_R = 27 \sqrt x_G$

Por fim, chegamos no seguinte sistema:

$4\sqrt x_R = 27 \sqrt x_G$
$3060 = 9x_G + 4x_R$

Em que $x_G = 16$ e $x_R = 729$.