Soluções Física - Semana 153

Termodinâmica

Considerando o caso de mínima temperatura inicial do gelo, ao final do processo toda a água se encontrará no estado sólido e na temperatura $T_{f} = 0^{\circ}C$. Logo, as variações de calor do sistema são o aquecimento do $0,5 \ kg$ gelo e o congelamento do $1 \ L$ (correspondente a $1 \ kg$) de água, e a soma dessas duas quantidades deve ser nula de modo a conservarmos a energia do sistema. Assim:

$m_{g}c_{g}\Delta T_{g} - m_{a}L_{f} = 0$

$0,5 \cdot 2,1 \cdot 10^{3} (0 - T_{0}) = 1 \cdot 330 \cdot 10^{3}$

$T_{0} = - \dfrac{660}{2,1} ^{\circ}C$

$\boxed{T_{0} = - 314 ^{\circ}C}$

Com isso, vemos que é impossível resfriar toda essa quantidade de água com essa massa de gelo, uma vez que a temperatura inicial obtida é menor do que o zero absoluto.

$\boxed{T_{0} = - 314 ^{\circ}C}$

Note que, por ser um valor menor que o zero absoluto ($-273,15 ^{\circ}C$), não existe uma temperatura baixa o suficiente de modo a poder congelar toda a água do problema.

Termodinâmica

Para que essa quantidade de calor seja mínima, devemos impor a condição de processo isentrópico, uma vez que este sempre apresenta o maior rendimento. Calculemos a variação de entropia da casa, do ambiente externo e da lareira, respectivamente:

$\Delta S_{C} = \dfrac{\Delta Q}{T_{C}}$

$\Delta S_{Q} = \dfrac{- \Delta Q'}{T_{Q}}$

$\Delta S_{F} = \dfrac{\Delta Q' - \Delta Q}{T_{F}}$

Somando essas três quantidades, obtemos a variação de entropia total $\Delta S$:

$\Delta S = \dfrac{\Delta Q}{T_{C}} - \dfrac{\Delta Q'}{T_{Q}} + \dfrac{\Delta Q' - \Delta Q}{T_{F}} = 0$

$- \Delta Q' T_{C}(T_{F} - T_{Q}) = \Delta Q T_{Q}(T_{C} - T_{F})$

$\Delta Q' = \dfrac{T_{Q}}{T_{C}} \dfrac{T_{C} - T_{F}}{T_{Q} - T_{F}} \Delta Q$

$\Delta Q' = \dfrac{600}{278} \dfrac{15}{337} \Delta Q$

Logo:

$\boxed{\Delta Q' = 0,096 \Delta Q}$

$\boxed{\Delta Q' = 0,096 \Delta Q}$

Ciclos termodinâmicos

Para calcular o rendimento, precisamos de duas informações: o trabalho realizado ($W$) e o calor recebido pelo gás ($Q_{h}$). A primeira dessas quantidades é fácil de se obter, uma vez que ela corresponde à área do gráfico $PxV$ do ciclo. Assim, obtemos que o trabalho do ciclo é dado por:

$W = \dfrac{1}{2}P_{0}V_{0}$

Já o calor recebido é um pouco mais difícil de calcular, e teremos de considerar cada etapa separadamente. Na compressão isobárica, representada pela aresta mais abaixo, o calor cedido ao gás é dado por:

$Q_{P} = nC_{P}\Delta T = \dfrac{5}{2} nR \Delta T = \dfrac{5}{2} P_{0} \Delta V$

$Q_{P} = -\dfrac{5}{2}P_{0}V_{0} < 0$

Como essa quantidade é negativa, essa etapa corresponde a uma perda de calor e não será considerada no cálculo de $Q_{h}$. Já na etapa isovolumétrica:

$Q_{V} = nC_{V}\Delta T = \dfrac{3}{2}nR\Delta T = \dfrac{3}{2} \Delta P V_{0}$

$Q_{V} = \dfrac{3}{2}P_{0}V_{0} > 0$

Sendo positiva, essa quantidade será incluída em $Q_{h}$. Finalmente, vamos para a etapa correspondente à hipotenusa. Nela, vale que:

$P(V) = 3P_{0} - \dfrac{P_{0}}{V_{0}}V$

Usando a Lei do Gás Ideal:

$nRT = PV = 3P_{0}V - \dfrac{P_{0}}{V_{0}}V^{2}$

$nRdT = (3 - 2 \dfrac{V}{V_{0}}) P_{0}dV$

Usando esse resultado com a 1ª Lei da Termodinâmica:

$nC_{V}dT = dQ - PdV$

$dQ = \dfrac{3}{2}nRdT + (3 - \dfrac{V}{V_{0}})P_{0}dV = (\dfrac{3}{2}(3 - 2 \dfrac{V}{V_{0}}) + (3 - \dfrac{V}{V_{0}}))P_{0}dV$

$dQ = (\dfrac{15}{2} - 4\dfrac{V}{V_{0}}) P_{0}dV$

Assim, podemos ver que há instantes de ganho de calor e de perda de calor. A troca de sinal ocorre quando $V_{f} = \dfrac{15}{8}V_{0}$, e para volumes maiores que esse o gás perde calor. Assim, para calcular o calor recebido pela fonte quente, devemos integrar a função $dQ$ de $V_{0}$ até $V_{f} = \dfrac{15}{8}V_{0}$:

$Q_{H} = P_{0} \int_{V_{0}}^{V_{f}} \dfrac{15}{2} - 4\dfrac{V}{V_{0}} \, dV$

$Q_{H} = P_{0} (\dfrac{15}{2}V - 2\dfrac{V^{2}}{V_{0}})|_{V_{0}}^{V_{f}}$

$Q_{H} = \dfrac{49}{32} P_{0}V_{0}$

Finalmente podemos construir uma expressão para o calor recebido pela fonte quente:

$Q_{h} = Q_{H} + Q_{V}$

$Q_{h} = \dfrac{49}{32} P_{0}V_{0} + \dfrac{3}{2}P_{0}V_{0} = \dfrac{97}{32}P_{0}V_{0}$

Assim, o rendimento do ciclo é dado por:

$\eta = \dfrac{W}{Q_{h}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}P_{0}V_{0}}{\dfrac{97}{32}P_{0}V_{0}}$

$\boxed{\eta = \dfrac{16}{97} = 16,5\% }$

$\boxed{\eta = \dfrac{16}{97} = 16,5\% }$