Soluções - Problemas da semana 08/05/2023 - 19/05/2023

Solução 1:

Note que \angle CDZ=\angle CDE=\angle BDE+\angle BED=90^{\circ}+\angle B e sabemos que \angle ZBC=\angle OBC=90^{\circ}-\angle B, logo \angle ZDC+\angle ZOC=90^{\circ}+\angle B+90^{\circ}-\angle B=180^{\circ}. Logo o quadrilátero é cíclico!

Solução 2:

Façamos um grafo G com vértices \{ 1,2,3,\dots, p\}. Ligamos uma aresta entre os vértices i e j com a cor

k\equiv -\frac{a_j-a_i}{j-i} \pmod p

Com 0\le k< p, assim, usamos no máximo p cores nas arestas e temos \binom p2 arestas. assim, alguma cor foi usada menos que \frac 1p \binom p2=\frac{p-1}2 Assim, existe um subgrafo de G com \frac{p-1}2 arestas e p, vamos provar que esse grafo tem pelo menos \frac{p+1}2 componentes conexas:

Como uma componente conexa é pelo menos uma árvore \implies número de arestas de cada componente conexa \ge número de vértices de cada componente -1, assim, \mbox{#arestas}\ge \mbox{#vertices} -\mbox{#componentes conexas}\implies \frac{p-1}2\ge p-\mbox{#componentes conexas}\implies \mbox{#componentes conexas}\ge \frac{p+1}2\ge \frac p2, assim, existe uma cor com pelo menos \frac p2 restos distintos, como queríamos.

Solução 3:

Veja que, para todo r\in \mathbb{R} tal que P(r)\in \mathbb{Z}\implies P(2r)\in \mathbb{Z}. Assim, seja Q(x)=P(2x)-2^dP(x), onde d=deg P. Veja que o grau de Q é no máximo d-1 e que o conjunto

A=\{ x\mid P(x)\in \mathbb{Z}\} \subseteq B=\{ x\mid Q(x)\in \mathbb{Z}\}

sabemos que P,Q são eventualmente monótonos, se que não é constante (\exists M\in\mathbb{N}\mbox{tal que} \forall m>M P(m)>P(m-\epsilon), Q(m)>Q(m-\epsilon)\forall\epsilon>0). Logo,

|Q(M+r)-Q(M)\ge |B\cap [Q(M),Q(M+r)]|\ge A\cap [P(M),P(M+r)]|=P(M+r)-P(M),r\in \mathbb{N}

Veja que isso é um polinômio de grau d em função de r, que sempre é menor que um polinômio de grau menor que d\rightarrow Abs!

Assim, Q é constante \implies 2^dP[x^i]=Q[x^i]\forall i\neq 0\implies 2^da_i=2^ia_i\implies a_i=0\implies P(x)=ax^d+c. é fácil provar que isso só vai funcionar quando a=1