Soluções Problemas da Semana 4

Escrito Por Caique Paiva

Iniciante: Ache o número de maneiras que podemos colocar o máximo de torres em um $n \times n$ de modo que elas não se ataquem.

Conteúdos Prévios Necessários:

Princípio das Casas dos Pombos

Solução:

Primeiro, veja que, se tivermos duas torres na mesma coluna, então essas duas torres vão se atacar, logo, não podemos ter 2 torres na mesma coluna. Por outro lado, se colocamos $x \ge n+1$ torres no tabuleiro, então, como temos $n$ colunas no total, pelo princípio das casas dos pombos, vão ter duas torres na mesma coluna, absurdo! Então, temos no máximo $n$ torres no tabuleiro, e esse exemplo pode ser alcançado colocando todas as torres em uma das diagonais.

Intermediário: Seja $a_0<a_1<a_2<\dots$ uma sequência infinita de inteiros positivos. Prove que existe um único $n$ tal que

$a_n<\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}n\le a_{n+1}$

(A1 IMO 2014)

Conhecimentos Prévios Necessários:

Sequências
Continuidade Discreta

Solução: (Feita por Davi Lopes) Defina $\Delta_i = a_{i} - a_{i-1}$ , então, faça $a_n = a_0 + \Delta_1+ \Delta_2 + \cdots + \Delta_n$ . Perceba que $\Delta_i \ge 1$ , pois $a_i > a_{i-1}$ e eles são inteiros. Então, a condição do problema pode ser reescrita:

$a_n < \frac{a_0 + \cdots + a_n}{n} < a_{n+1} \Longrightarrow$

$a_0 + \Delta_1 + \Delta_2 + ... + \Delta_n < \frac{(n+1)a_0 + n\Delta_1 +(n-1)\Delta_2+ ... + \Delta_n}{n} \le$

$\le a_0+\Delta_1 + ... +\Delta_n + \Delta_{n+1}$

Que então, depois de algumas contas, fica

$\Delta_2 +2\Delta_3 +...+(n-1)\Delta_n < a_0 \le \Delta_2 +2\Delta_3 +...+(n-1)\Delta_n +n\Delta_{n+1}$

Então, defina $b_1 = 0$ e $b_n =\Delta_2 + 2\Delta_3 +.. +(n-1)\Delta_n$ . Logo, perceba que $b$ é estritamente crescente e ilimitada, pois $b_{n+1} - b_{n} \ge n \Delta_{n+1} \ge n$ . Então, basta achar um $n$ tal que $b_n < a_0 \le b_{n+1}$ , e como $b_1 = 0 < a_0$ e $b_n$ é ilimitada e estritamente crescente, por continuidade discreta, tal $n$ existe.

Avançado: No triângulo $\Delta ABC$ seja $\omega$ o A-ex-incírculo de $ABC$ e $D$ , $E$ e $F$ os pontos de tangência de $\omega$ a $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente, a circunferência $(AEF)$ intersecta $BC$ em $P$ e $Q$ . Seja $M$ o ponto médio de $AD$ , prove que $(MPQ)$ é tangente a $\omega$

(G4 IMO 2017)

Solução: (Feita por Bilhana) Seja $T = \overline{AD} \cap A-$ Exincírculo do $\Delta ABC$ e $J$ o $A-$ Exincentro. Veja que $AFJE$ é ciclico, pois $\angle AFJ = \angle AEJ = 90$ . Além disso, seja $S = \overline{AD} \cap (AEF)$ , então, temos que $90 = \angle AEJ = \angle ASJ$ , e $JD = JT$ , logo como $\Delta JDT$ é isósceles e $JS$ é altura desse triângulo, então $DS = DT$ .

Agora, vamos provar que $MPTQ$ é cíclico por potência de ponto! Veja que

$DM \times DT = DM \times 2DS = DA \times DS = |Pot_{(APSQ)}D| = DP \times DQ$

Então, pela volta da potência de ponto, $MPTQ$ é cíclico.

Com isso, precisamos provar que $T$ é o ponto de tangência dessas duas circunferências! Vamos provar isso pela volta da estrela da morte! Ou seja, vamos provar que $M$ é ponto médio do arco $\widehat{PQ}$ .

Seja $L$ o centro de $(AFE)$ , logo, $L$ é ponto médio de $\overline{AJ}$ , então, por base média, temos que $\overline{ML} \parallel \overline{DJ}$ , e portanto $\overline{ML}$ é perpendicular a $\overline{PQ}$ , logo, sendo $K = \overline{ML} \cap \overline{PQ}$ , temos que $\overline{MK}$ é altura de $\, j� que$ \overline{MK} \parallel \overline{DJ} $, e que$ \overline{MK}

Para provar isso, vamos abrir conta!