Por Arthur Siqueira
Trigonometria é uma ferramenta importantíssima para manipulação de coordenadas celestes. Então, se você deseja o ângulo entre duas estrelas ou transferir de um sistema de coordenadas para outro, trigonometria esférica é um tremendo facilitador.
Trigonometria esférica trabalha com triângulos esféricos que são formados por arcos esféricos e ângulos esféricos. Esses ângulos esféricos, ao invés de somarem 180º como em triângulos planos, somam um valor entre 180º e 540º.
Como visto na imagem a, b e c são os arcos esféricos, mas eles são representados na maioria das vezes como sendo os ângulos entre os vértices esféricos com o referencial no centro da esfera (por exemplo b seria igual ao ângulo entre SC e SA), pois muitas vezes não sabe-se o raio da esfera ou simplesmente não é relevante. Além disso, α, β e γ são os ângulos esféricos.
É importante lembrar também que os ângulos esféricos são ângulos entre duas tangentes da esfera. No caso de um triângulo esférico, essas tangentes são as tangentes dos arcos esféricos no momento de cruzamento dos mesmos.
Assim como na trigonometria plana existem fórmulas de relação para trabalhar com as componentes do triângulo. As principais são:
Fórmula do Seno
O seno de um ângulo esférico é proporcional ao seno do seu arco oposto.
Fórmula do Cosseno
Analogamente:
É importantíssimo que ao manipular essas fórmulas esteja sempre a verificar se a unidade dos ângulos está certa. Principalmente quando muitas coordenadas celestes são normalmente expressas em horas (como a Ascensão Reta).
Ângulo entre duas estrelas
Tendo duas estrelas e sabendo a Ascensão Reta e a Declinação de ambas, como podemos descobrir a distâncias angular entre elas?
Esses são os ângulos que temos (usaremos γ como declinação, apesar do uso de δ ser mais comum para essa representação):
Para formarmos o triângulo esférico, precisamos dos três vértices do mesmo que serão: a Estrela 1 (E1), a Estrela 2 (E2) e o Norte Celeste (N). Com isso, já possuímos informação suficiente desse triângulo: o valor dos arcos esféricos entre o Norte Celeste e cada uma das estrelas, que é noventa graus menos a declinação da estrela; e o ângulo esférico no vértice do Norte Celeste, que é a diferença das ascensões retas das duas estrelas.
Nisso, temos esse triângulo esférico (θ é a distância angular entre as estrelas, que corresponde a um arco esférico):
Logo, utilizando a Lei do Cosseno:
Simplificando temos:
Convertendo entre Coordenadas Azimutais e Coordenadas Equatoriais
Para mudarmos de um Sistema Equatorial para um Azimutal e vice-versa, precisamos de mais informações do que as coordenadas de um sistema para achar as coordenadas do outro. Para isso, devemos ter também a latitude (l) e o Tempo Sideral Local (TSL), afinal, o Sistema Azimutal depende da localização e instante do observador na Terra.
Supondo uma estrela (E) e uma observador com seu zênite (Z), podemos vizualizar:
A partir dessa esfera celeste, podemos formar um trinângulo esférico com o Norte Celeste (N), o zênite do observador (Z) e a estrela (E). E como podemos ver na imagem acima, |TSL - α| é o ângulo entre o meridiano que passa pela estrela e o meridiano que passa pelo zênite. Apesar da situação apresentada ser TSL - α, em outras sistuações, a estrela pode ter uma ascenção reta (α) maior que o Tempo Sideral Local (TSL), logo, podemos por um módulo para generalizar).
Nisso, tendo h como altura e AZ como azimute:
Desse triângulo esférico, podemos primeiramente descobrir h com Lei dos Cossenos:
Logo:
E nisso, AZ com Lei dos Senos:
Logo:
