Matemática-Ideia 02 (Sequências Lineares)

Escrito por Samuel Prieto

Recorrências Lineares: Um guia prático

Em vários problemas precisamos encontrar a forma fechada de um sequencia construida por uma regra em função dos termos anteriores, por exemplo:

$$a_1=1 , a_2=2 , a_n = a_{n-1}+2a_{n-2} , \forall n\ge2$$

sequencias em que cada termos é uma cobinação linear dos anteriores são chamadas de  lineares, e para resolve-las ultilizmos do seguinte método:

1º Passo : Encontrar a equação característica.

uma equação linear tem grau d se cada termo é obtido a partir de uma combinação de d termos anteriores (nosso exemplo tem grau 2). Vamos trabalhar com equações de grau 1 ou 2 apenas. Um fato chave é que uma sequencia de grau n pode ser representado com a soma de n sequencias exponenciais, ou seja, no nosso exemplo existem A, B , C e D tais que :

$$a_n=C.A^n +D.B^n, \forall n\ge 0$$

Mas como encontrar A e B? simples, eles são as raízes da chamada Equação característica da sequencia , obtida substituindo $a_n$ por $x^n$ na equação de recorrência. no exemplo temos:

$$\rightarrow a_n = a_{n-1}+2a_{n-2}$$

$$\rightarrow x^n = x^{n-1} + 2x^{n-2}$$

$$\rightarrow x^2=x+2$$

$$\rightarrow x^2 - x - 2 =0$$

2º Passo : Encontrar suas raízes

$$\rightarrow x^2 - x - 2 =0$$

$$\rightarrow (x-2)(x+1)=0$$

$\rightarrow x=2$ ou $x=-1$

Logo temos $A=2$ e $B=-1$, agora para encontrar as constantes C e D, precisamos olhar para os valores iniciais da sequência…

3º Passo: Ajustar as constantes

Sabemos que $a_1=A^1.C+B^1.D$ e $a_2=A^2.C+B^2.D$ ,logo com já conhecemos os valores de $a_1,a_2,A$ e $B$, podemos resolver o seguinte sistema de duas equações em C e D, no noso exemplo temos:

$$(2)^1C+(-1)^1D=1$$

$$(2)^2C+(-1)^2D=2$$

Resolvendo encontramos $C=\frac{1}{2}$ e $D=0$

4º Passo: Provar que funciona (Indução) :

Apesar de este método ser bem conhecido, é necessário provar  que a formula encontrada funciona, mas isso é bem direto usando indução. Formalmente falando , vamos propor que $a_n=C.A^n+D.B^n$ é uma formula que descreve todos $a_n$ corretamente. De volta para nosso exemplo:

Casos Iniciais: para n=1,

$$a_1=\frac{1}{2}.(2)^1+0.(-1)^1=1$$

, que é verdade

                         para n=2,

$$a_2=\frac{1}{2}.(2)^2+0.(-1)^2=2$$

, que é verdade

Hipótese: $\forall n\ge m\ge 1,a_m=\frac{1}{2}.(2)^m+(0).(-1)^m=2^{m-1}$, vamos provar que $a_{n+1}=\frac{1}{2}.(2)^{n+1}+(0).(-1)^{n+1}=2^{n}$

temos

$$a_{n +1}= a_n+2a_{n-1}$$

$$\rightarrow a_{n+1}=(\frac{1}{2}.2^n)+2(\frac{1}{2}.2^{n-1})=2^{n-1}+2.2^{n-2}  (*)$$

$$=2^{n-1}+2^{n-1}=2^n$$

Logo a indução está completa e está provada nossa fórmula:)

Vale a pena lembrar de o porque a igualdade (*) ocorreu: nesse caso é bem facil observar que a soma de duas potencias de dois é uma potência de dois, mas por que nos tomamos A e B como as raízes da nossa equação caracteristica, sempre poderemos substituir o resultado do lado esquerdo pelas próxima potências de A e B, mas isso ficará mais claro nos exemplos a seguir:

Problemas:

1.(Sequencia de Fibonacci)Seja $f_0,f_1,f_2...$ uma sequência de números reais definida por $f_0=0,f_1=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$. Encontre a fórmula fechada de $f_n$

2.Seja $a_0,a_1,a_2...$ uma sequência de números reais definida por $a_0=1$ e $a_{n+1}=2a_n+1,\forall n \ge 0$. Encontre a fórmula fechada de $a_n$.